Bolzano-Weierstraß in Ringen mit Bewertung

12.09.2011, 00:21

ProGeologist

Bolzano-Weierstraß in Ringen mit Bewertung

Guten Abend allerseits,

ich habe ein Problem. Ich will beweisen, dass jede Folge $\begin{eqnarray*} x_n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit Bewertung $\begin{eqnarray*} | \cdot |_p \end{eqnarray*}$ (wobei p eine Primzahl ist) eine konvergente Teilfolge hat.

Jetzt habe ich mir gedacht, ich zeige einfach, dass jede Folge x_n ganzer Zahlen für die Bewertung $\begin{eqnarray*} | \cdot |_p \end{eqnarray*}$ beschränkt ist (ist sie ja) und wende dann den Satz von Bolzano-Weierstraß darauf an - die Frage aber: darf ich den Bolzano-Weierstraß (also das jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge hat) hier überhaupt anwenden? Z ist ja nichtmals ein Körper, aber ich wüsste nicht, in wieweit das die Voraussetzungen des Satzes stören würde.

ich hoffe ihr könnt mir helfen - danke schonmal im vorraus

grüße

ProGeologist

PS: Als "Bewertung" haben wir definiert:
$\begin{eqnarray*} Ist~ x = \frac{a}{b} \cdot p^{v_p(x)}~, so~ist~| x |_p = p^{-v_p(x)} ~~ (oder~ 0, wenn~ x= 0~ ist) \end{eqnarray*}$

12.09.2011, 00:52

akechi90

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ProGeologist,

Du meinst höchstwahrscheinlich, dass eine Cauchyfolge gefunden werden kann, denn $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist unter p-adischer Bewertung selbst nicht vollständig. Oder redest du von den ganzen p-adischen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_p \end{eqnarray*}$ ?
Tipp zur Erledigung der Aufgabe, falls du eine Cauchyfolge im "ganzen" Fall finden willst:
Betrachte nacheinander die Faktoren $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Du findest für jedes n mindestens eine Restklasse $\begin{eqnarray*} a + p^n \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , die unendlich viele der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ enthält. Wähle diese aus, und betrachte dann die Restklassen $\begin{eqnarray*} mod p^{n+1} \end{eqnarray*}$ , die auf die eben gewählte Restklasse herunterprojizieren. Eine davon enthält unendlich viele Elemente... Nun musst du dir nur noch eine Cauchyfolge daraus konstruieren und nachweisen, dass du tatsächlich eine Cauchyfolge konstruiert hast.
Alternativ kannst du natürlich dasselbe Argument statt mit Restklassen mit den Bällen $\begin{eqnarray*} B_{p^{-n}}(a) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a = 1, 2,...,p^n \end{eqnarray*}$ durchführen, welche $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ überdecken.
Für die p-adischen Zahlen läuft der Beweis übrigens nicht wesentlich anders.

Liebe Grüße,
Carsten

12.09.2011, 01:14

ProGeologist

Auf diesen Beitrag antworten »

also mich verwirrt die aufgabenstellung schon ein wenig, aber es ist ausdrücklich nach einer konvergenten Teilfolge gefragt. Und da $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ja nicht vollständig ist, würde mir im Prinzip die Cauchyfolge auch nicht weiterhelfen.

Ich bin halt dann intuitiv auf den Bolzano-Weierstraß gekommen, da er ja immer bei konvergenten Teilfolgen herhalten muss. Der Beweis ist ja auch ganz simpel, aber ob er vernünftig ist ist die frage....

Aber danke schonmal für deinen Hinweis, im prinzip ist er ja ähnlich zu dem normalen Beweis von Bolzano-Weierstraß.

grüße

ProGeologist

12.09.2011, 01:20

akechi90

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, für die (ganzzahlige) Folge $\begin{eqnarray*} x_n = \sum_{i=0}^{n}~p^n \end{eqnarray*}$ gibt es keine konvergente Teilfolge, wie du leicht nachweisen kannst. D.h. Konvergenz in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ kann nicht gefragt gewesen sein.

12.09.2011, 16:17

ProGeologist

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von akechi90
Nun, für die (ganzzahlige) Folge $\begin{eqnarray*} x_n = \sum_{i=0}^{n}~p^n \end{eqnarray*}$ gibt es keine konvergente Teilfolge, wie du leicht nachweisen kannst. D.h. Konvergenz in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ kann nicht gefragt gewesen sein.

naja, im Prinzip ist die Folge und damit auch die Reihe konvergent, bezüglich der Bewertung p, da ja gilt:

$\begin{eqnarray*} |p^n|_p = p^{-n} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für große n. Also wäre die Folge $\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ konvergent, und damit auch die Reihe $\begin{eqnarray*} x_n = \sum_{i=0}^{n}~p^n \end{eqnarray*}$ .

Das ist das war mich wundert - da wir uns ja nur auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ beschränken, ist ja jede Zahl bezüglich der Bewertung $\begin{eqnarray*} | \cdot |_p \end{eqnarray*}$ beschränkt, also auch jede Folge. Und somit wäre das ja alles recht einfach.

Neue Frage »

Antworten »

Bolzano-Weierstraß in Ringen mit Bewertung

Verwandte Themen