Finanzmathematik, Rentenendwert

12.09.2011, 07:47

moclus

Finanzmathematik, Rentenendwert

Folgende Aufgabe aus einer Prüfungsklausur für Wirtschaftsingenieure:

Durch 10 gleiche jährliche Raten, von denen die erste sofort zu zahlen ist, soll in 10
Jahren bei einer Verzinsung von 5.1 % ein Guthaben von 100 000 € angespart werden. Wie hoch müssen die Raten sein?

Da nichts angegeben ist nimm ich den nachschüssigen Rentenendwert.
Mich bringt dieses "sofort" durcheinander.

$\begin{eqnarray*} R_{n} =\frac{r(q^n -1)}{q-1} + (r*q^n) = 100.000 = \frac{r(1,051^9 -1)}{1,051 -1} + (r*1,051^0) \end{eqnarray*}$

Irgendwie bringt mich das durcheinander, oder kann es sein das das sofort nur zum verwirren hier ist?

12.09.2011, 08:07

klarsoweit

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RE: Finanzmathematik, Rentenendwert

Zitat:

Original von moclus
Da nichts angegeben ist nimm ich den nachschüssigen Rentenendwert.
Mich bringt dieses "sofort" durcheinander.

Dieses "sofort" scheint mir ein Hinweis zu sein, daß es sich um einen vorschüssigen Rentenendwert handelt. Ich halte es immer mit den mathematischen Formeln. Hier ist:

$\begin{eqnarray*} R_n = \sum_{k=0}^n~r \cdot q^k \end{eqnarray*}$

12.09.2011, 09:54

moclus

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also wäre doch der vorschüssige rentenendwert dann doch nur für ein Jahr in betracht zu ziehen oder? weil nur die erste Rate "sofort" gezahlt wird.

ich hab grad echt einen blackout.
Vorschüssige Rentenzahlung bedeutet doch das man am Anfang drauf zahlt und das Kapital dann um 1 Jahr mehr verzinst wird oder?
Also müsste dann doch: $\begin{eqnarray*} r*q(q^n) \end{eqnarray*}$ stehen oder (in der Formel)? Also kann ich dann doch eigentlich für die gesamte Formel den Rentenbarwert nehmen, wenn es "einmal" mehr verzinst wird?

Ist dies dann unter mathematischen Gesichtspunkten nicht gleichwertig, wenn ich eigentlich den nachschüssigen Rentenendwert nehme und einmal noch nebenbei eine Verzinsung draufschlage, oder direkt den vorschüssigen Rentenendwert?

12.09.2011, 10:16

klarsoweit

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RE: Finanzmathematik, Rentenendwert
Bei den finanz-mathematsichen Begriffen kenne ich mich nicht so gut aus. Entscheidend ist, wann bzw. wie oft eine Rate verzinst wird. Allerdings habe ich leider einen dummen Fehler in meiner Formel. Richtig ist natürlich:

$\begin{eqnarray*} R_n = \sum_{k=1}^n~r \cdot q^k \end{eqnarray*}$

12.09.2011, 10:20

moclus

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hm verdammt, hätte vllt bisschen besser aufpassen sollen damals,
trotzdem vielen dank smile

12.09.2011, 16:07

mYthos

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Da die 10 Raten zu unterschiedlichen Zeitpunkten eingezahlt werden, trägt man alle auf einer Zeitlinie auf, wählt einen Zeitbezugspunkt und bezieht (zinsenmäßig) alle Einzahlungen dorthin; in diesem Beispiel auf den Zeitpunkt am Ende des 10. Jahres, dort liegt auch der angegebene Endwert von E = 100000.-. Die Jahresrate nennen wir R. Dann ist

$\begin{eqnarray*} E = Rq + Rq^2 + \ldots + Rq^{10} \end{eqnarray*}$

Nun summierst du rechts einfach die geometrische Reihe und berechnest aus der Gleichung dann R und fertig.

mY+

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