Prüfen ob Integral konvergiert

12.09.2011, 14:07

moonsymmetry

Prüfen ob Integral konvergiert

Hallo,
Ich bräuchte etwas starthilfe bei solchen aufgaben:

man bestimme, ob das folgende unbestimmten Integrale konvergiert:

$\begin{eqnarray*} \int^{\infty}_2 \frac{1}{x ln x} dx \end{eqnarray*}$

Mir würde zunächst schon mal weiterhelfen mit welchen mitteln man diese Aufgabe lösen kann. Braucht man hierzu das Integralkriterium?

lg

12.09.2011, 14:12

René Gruber

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Da zu diesem Integranden leicht eine Stammfunktion ermittelt werden kann, nutzt man dazu doch am besten direkt die Definition des uneigentlichen Integrals, hier also

$\begin{eqnarray*} \int\limits_2^{\infty} \frac{1}{x\ln x} ~ \dd x = \lim_{t\to\infty} \int\limits_2^t \frac{1}{x\ln x} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Die Existenz des Grenzwertes rechts (so sie denn zutrifft) ist gleichbedeutend mit der Konvergenz des uneigentlichen Integrals links.

12.09.2011, 14:45

moonsymmetry

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danke für den Tipp:
ich will es probieren.

Das Integral:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{xlnx} = ln(ln(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \int^t_2 \frac{1}{xlnx} dx =<br /> \lim\limits_{t \rightarrow \infty} [ln(lnx))]^t_2 =<br /> \lim\limits_{t \rightarrow \infty}[ln(ln(t)) - ln(ln(2)) ] = \infty - ln(ln(2)) = \infty<br /> \end{eqnarray*}$

verwirrt

hmmm stimmt so aber nicht oder? das heißt ja es gibt keinen grenzwert.

12.09.2011, 14:47

René Gruber

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So ist es - und das bedeutet was für das uneigentliche Integral?

12.09.2011, 15:11

moonsymmetry

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dass das uneigentliche Integral auch nicht konvergiert?
Aber das hätt ich ja durch bloßes Ausrechnen des uneigentlichen Integrals auch sagen können... da kommt ja auch unendlich heraus.... ? verwirrt

EDIT:
weiters soll ich nun auch das integral

$\begin{eqnarray*} \int^{\infty}_0 xe^{-x^2} dx \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz prüfen.
Kann ich hier auch so vorgehen.
Eine Stammfunktion von dieser funktion zu finden ist mMn ja nicht so leicht ...

12.09.2011, 15:25

René Gruber

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Zitat:

Original von moonsymmetry
Aber das hätt ich ja durch bloßes Ausrechnen des uneigentlichen Integrals auch sagen können... da kommt ja auch unendlich heraus.... ? verwirrt

Ja genau, nichts anderes hast du ja oben getan. Bestimmte Divergenz gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist eine der Möglichkeiten für die Divergenz des uneigentlichen Integrals. Was hast du denn gedacht, was Konvergenz/Divergenz des uneigentlichen Integrals bedeutet?

12.09.2011, 15:38

moonsymmetry

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Zitat:

Was hast du denn gedacht, was Konvergenz/Divergenz des uneigentlichen Integrals bedeutet?

naja, ob das integral einen grenzwert besitzt, bzw. ob ich einen wert herausbekomme.
Mich hat nur folgendes in der Angabe iritiert: "Man bestimme, ob die folgenden unbestimmten Integrale konvergieren und berechne gegebenfalls die Werte der Integrale"
Aber in Wirklichkeit hab ich ja einfach nur das Integral gelöst, oben.

12.09.2011, 15:56

René Gruber

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Bevor ich es zum dritten Mal wiederhole: Lies es am besten selbst in der Definition des uneigentlichen Integrals nach (Wikipedia, oder sonstwo), wenn du schon kein Vertrauen in meine Aussagen hast. Mich öden diese ständigen Wiederholungen nämlich ziemlich an.

12.09.2011, 16:12

moonsymmetry

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hö?
ich glaube dir ja wohl smile

hab ja nur ergänzt warum es mich anfangs verwirrt hat...
hm ok

naja danke halt mal...

12.09.2011, 16:15

Airblader

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Vielleicht mal so sehen: Manchmal ist der Weg eben schon das Ziel. Augenzwinkern

Übrigens:

Zitat:

Original von moonsymmetry
Eine Stammfunktion von dieser funktion zu finden ist mMn ja nicht so leicht ...

Doch, doch. Genauso leicht sogar. Wenn da kein 'x' als Faktor stünde würd's hingegen schwierig werden.

air

12.09.2011, 16:49

moonsymmetry

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ah ja stimmt eigentlich ... also ich probier, falls René nicht schon total verärgert ist, auch noch das zweite beispiel smile

also man bestimme ob das integral $\begin{eqnarray*} \int^{\infty}_0 xe^{-x^2} dx \end{eqnarray*}$ konvergiert und berechne geg. den Wert des Integrals

zuerst mal das integral $\begin{eqnarray*} \int xe^{-x^2} \end{eqnarray*}$ anschauen.
wenn ich -x^2 = u substituiere bekomm ich als ableitung -2x was die ableitung vom faktor x im integral ist smile

also:
$\begin{eqnarray*} u = -x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} du = -2x dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \frac{du}{2x} = dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int x \cdot e^u \frac{du}{-2x} dx \end{eqnarray*}$ //-1/2 rausziehn
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \int x \cdot e^u \frac{du}{x} \end{eqnarray*}$ //x kürzt sich gott sei dank
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2} e^u = -\frac{e^{-x^2}}{2} + c \end{eqnarray*}$

nun zur konvergenz:
$\begin{eqnarray*} \int^{\infty}_0 x \cdot e^{-x^2} dx= \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \int^t_0 e^{-x^2} dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim\limits_{t \rightarrow \infty} [-\frac{e^{-x^2}}{2}]^t_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim\limits_{t \rightarrow \infty} -\frac{e^{-t^2}}{2} - ( - \frac{e^{-t^2}}{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim\limits_{t \rightarrow \infty} -\frac{e^{-t^2}}{2} +\frac{e^{-t^2}}{2} \end{eqnarray*}$

hm ja der erste summand geht gegen 0 ?
der zweite ist 1/2 .... somit konvergiert das ding gegen 1/2.
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \int^t_0 e^{-x^2} dx= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

hm?

12.09.2011, 17:06

René Gruber

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Zitat:

Original von moonsymmetry
falls René nicht schon total verärgert ist

Nein, bin ich nicht, ich kann nur unnötige Wiederholungen nicht ausstehen.

Wahrscheinlich hast du gelernt, dass man die Konvergenz/Divergenz solcher uneigentlicher Integrale durch Finden von konvergenten Majoranten/divergenten Minoranten (letzteres "bekannte" Integrale) nachweisen kann. Das ist richtig, aber ja doch auch hauptsächlich als Mittel gedacht, wenn die eigentliche Funktion nicht oder nur schwer geschlossen integrierbar (d.h. durch eine konkret angebbare Stammfunktion) ist.

Wenn das, wie in deinen beiden letzten Fällen, glücklicherweise nicht der Fall ist, dann kann man sich diese Umwege sparen und direkt die Integrale ausrechnen statt sie nur abzuschätzen, und kann somit auf Konvergenz oder Divergenz entscheiden, und im ersteren Fall dann auch gleich den Integralwert bestimmen.

Zitat:

Original von moonsymmetry
$\begin{eqnarray*} = \lim\limits_{t \rightarrow \infty} [-\frac{e^{-x^2}}{2}]^t_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim\limits_{t \rightarrow \infty} -\frac{e^{-t^2}}{2} - ( - \frac{e^{-t^2}}{2}) \end{eqnarray*}$

Nun, in der letzten Zeile sollte ja wohl eher

$\begin{eqnarray*} = \lim\limits_{t \rightarrow \infty} -\frac{e^{-t^2}}{2} - ( - \frac{e^0}{2}) = \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \frac{1-e^{-t^2}}{2} \end{eqnarray*}$

stehen...

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