Eine Basis B des Kerns der Matrix A

12.09.2011, 12:49

FloTU

Eine Basis B des Kerns der Matrix A

Meine Frage:

Bestimme eine Basis B des Kerns der Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 5 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
LGS Lösen:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt x3 und x4 sind frei wählbar.

für

x3 = 1
x4 = 1

ist $\begin{eqnarray*} Ker(A) = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir nicht sicher ob das jetzt die richtige Lösung für die Aufgabenstellung ist?

Kann ich den Kern auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} Ker(A) = \begin{pmatrix} -x3-x4 \\ -x3-x4 \\ x3 \\ x4 \end{pmatrix} <br /> <br /> Ker(A) = x3*\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x4*\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder ist eine Basis des Kerns jetzt einer der Vektoren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} oder \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.09.2011, 12:54

klarsoweit

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RE: Eine Basis B des Kerns der Matrix A
Beide Vektoren bilden eine Basis des Kerns. Augenzwinkern

Merkregel: setze sukzessive eine frei wählbare Variable = 1 und die anderen = 0. Bestimme dann jeweils die anderen Komponenten.

12.09.2011, 13:08

FloTU

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Wenn einsetze:

x3=0
x4=1

oder

x3=1
x4=0

kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das jetzt eine Basis des Kerns ?

Dann kann ich jetzt für meine Parameter beliebige Werte einsetzen und bekomme immer eine Basis des Kerns ?

12.09.2011, 13:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von FloTU
Wenn einsetze:

x3=0
x4=1

oder

x3=1
x4=0

kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein. Das kommt nur raus für x3=1 und x4=0 . Für x3=0 und x4=1 kommt was anderes raus.

Zitat:

Original von FloTU
ist das jetzt eine Basis des Kerns ?

Das ist ein Vektor (Element) der Basis.

Zitat:

Original von FloTU
Dann kann ich jetzt für meine Parameter beliebige Werte einsetzen und bekomme immer eine Basis des Kerns ?

Nur wenn du konsequent die Merkregel befolgst.

12.09.2011, 13:34

FloTU

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Die Basis des Kerns wird also durch die zwei Vektoren gebildet.
Somit ist die Basis des Kerns:

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.09.2011, 13:53

klarsoweit

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Richtig. Wobei das bei genauer Betrachtung nur eine mögliche Basis ist.

12.09.2011, 14:05

FloTU

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Was wäre denn eine weitere mögliche Basis ?

Nach Merkregel gilt ja bei meinem Fall:

x3=1 x4=0
x3=0 x4=1

12.09.2011, 14:07

klarsoweit

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Natürich kommt bei dieser Regel eben genau diese Basis raus. Das Algebra-Grundwissen sagt uns aber, daß ein Vektorraum auch eine andere Basis haben kann. Augenzwinkern

12.09.2011, 19:12

FloTU

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Danke für die Hilfe. Freude

13.09.2011, 11:31

martha.1981

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Ich habe auch nochmal was versucht, wäre nett wenn mir jemand meine Lösung auch nochmal prüfen könnte.

Spalte 3 und 4 sind linear abhängig.
Wegen (Spalte 1 minus Spalte 3)*(-1) = Spalte 2 sind die erste drei linear abhängig. Spalte 1 und 3 aber linear unabhängig, also rk(A)=2

Es git dim(im(A))=rk(A) und es gilt $\begin{eqnarray*} dim(K^4)=dim(ker(A))+dim(im(A)) \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} 4=dim(ker(A)+2 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} dim(ker(A))=2 \end{eqnarray*}$ .

Der Lösungsraum von Av=0 ist gleich dem Kern. Wähle x,y mit Ax=0 und Ay=0 und y,x linear Unabhängig.

Zeilenumformungen auf A ergeben
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} x=(1,0,0,0)^T; y=(-1,1,0,0)^T \end{eqnarray*}$

geraten habe ich jetzt aber, dass ich annehmen kann $\begin{eqnarray*} A: K^4\to K^4 \end{eqnarray*}$ .
Ist das okay?

m

13.09.2011, 11:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von martha.1981
Spalte 3 und 4 sind linear abhängig.
Wegen (Spalte 1 minus Spalte 3)*(-1) = Spalte 2 sind die erste drei linear abhängig. Spalte 1 und 3 aber linear unabhängig, also rk(A)=2

Ich weiß jetzt nicht, was diese Betrachtung soll, denn den Rang der Matrix liest man doch direkt ab.

Zitat:

Original von martha.1981
Wähle $\begin{eqnarray*} x=(1,0,0,0)^T; y=(-1,1,0,0)^T \end{eqnarray*}$

Weder x noch y liegen im Kern, wie man leicht nachrechnet. Augenzwinkern

13.09.2011, 15:48

martha.1981

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Ah ja, aber (0,0,-1,1) und (1,1,-1,0) spannen den Kern auf.

Ich kann den Rang nicht direkt ablesen. Woran siehst du das direkt?

Könntest Du mir noch die Frage, ob ich aus $\begin{eqnarray*} A\in K^{4\times 4} \end{eqnarray*}$ direkt $\begin{eqnarray*} A: K^4 \to K^4 \end{eqnarray*}$ schließen kann beantworten?

14.09.2011, 07:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von martha.1981
Ah ja, aber (0,0,-1,1) und (1,1,-1,0) spannen den Kern auf.

Ja, womit wir eine weitere Basis des Kerns gefunden haben. Augenzwinkern

Zitat:

Original von martha.1981
Ich kann den Rang nicht direkt ablesen. Woran siehst du das direkt?

Wenn sich die Matrix in Zeilenstufenform befindet, dann ist der Rang die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen.

Zitat:

Original von martha.1981
Könntest Du mir noch die Frage, ob ich aus $\begin{eqnarray*} A\in K^{4\times 4} \end{eqnarray*}$ direkt $\begin{eqnarray*} A: K^4 \to K^4 \end{eqnarray*}$ schließen kann beantworten?

Nun ja. Eine Matrix A impliziert eine Abbildung $\begin{eqnarray*} a: K^4 \to K^4 \end{eqnarray*}$ mit a(v) = A*v.
Rein formal kann man aber nicht eine Matrix mit einer Abbildung gleichsetzen.

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