Wurzel im Nenner rational machen

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12.09.2011, 14:52	SmO86	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel im Nenner rational machen Hallo! Ich hab da ein Problem mit 2 Aufgaben bei dennen ich den Nenner rational machen muss. Im Nenner stehen aber höhere Wurzelexponenten. Ich hab schonmal ein bissel im Internet geguckt. Daher müsste ich ja z.B. bei $\begin{eqnarray} \frac{a}{\sqrt[n]{b}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (\sqrt[n]{b})^{n-1} \end{eqnarray}$ erweitern. Siehe mathematik.de. Unter "Höhere Wurzelexponenten im Nenner". Nur irgendwie kommt was ganz anderes raus als in der Lösung und ich kapier nicht wieso. 1.) $\begin{eqnarray} \frac{y}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{yx^{4/3}}{x^{2/3} \cdot x^{4/3}} = \frac{y\sqrt[3]{x^4}}{x^2} \end{eqnarray}$ Habe ich gemäß gefundender Definition (s.o.) mit $\begin{eqnarray} (\sqrt[3]{x^2})^2 \end{eqnarray}$ erweitert! 2.) $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{y^{2n-1}}} =\frac{y^{\frac{1}{n}} \cdot (y^{\frac{2n-1}{n}})^{n-1}}{y^{\frac{2n-1}{n}} \cdot (y^{\frac{2n-1}{n}})^{n-1}} = \frac{y^{\frac{2n^2-3n+2}{n}}}{y^{2n-1}} \end{eqnarray}$ Habe ich mit $\begin{eqnarray} (\sqrt[n]{y^{2n-1}})^{n-1} \end{eqnarray}$ erweitert! Bitte um Hilfe!
12.09.2011, 18:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bleiben wir mal bei (1). Rein rechnerisch hast du richtig erweitert und auch das bisherige Ergebnis stimmt. Nur kann dieses noch vereinfacht werden, denn man kann durch x kürzen (vorher im Zähler partiell Wurzel ziehen). Einfache wäre es geworden, hättest du nur mit $\begin{eqnarray} \sqrt[3]x \end{eqnarray}$ erweitert. Warum? mY+
12.09.2011, 20:20	SmO86	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe. In der Tat, kürzen hab ich vergessen. Wäre dann: $\begin{eqnarray} \frac{y \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \end{eqnarray}$ Ja stimmt. Wenn ich nur mit $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray}$ erweitert hätte käme ich "einfacher" auf das Ergebnis. Da hab ich einfach stumpf die obige Formel angewandt. Hier in dem Beispiel sieht man recht schnell (sofern man den hinguckt) mit was man erweitern muss, um die Wurzel im Nenner zu neutralisieren. Aber sehr oft erschließt sich mir das nicht auf den ersten Blick. Oder gibts da außer obiger Formel noch irgend nen Trick wie ich schneller zum Ausdruck komme, mit dem ich erweitern muss? Gibts da vielleicht irgend nen guten Artikel im Netz zu? Was ist mit der 2.) Aufgabe? Kann da vielleicht auch noch einer was zu sagen? Gruß smo
12.09.2011, 20:44	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn im Nenner ein Ausdruck der Form $\begin{eqnarray} \sqrt a - \sqrt b \end{eqnarray}$ steht, wie gehst du dann vor? Hinweis: Eine binomische Formel anwenden. Berechne dann $\begin{eqnarray} \frac {14} {3 - \sqrt 2} \end{eqnarray}$ ____________________ (2) Viel einfacher! Erweitere mit $\begin{eqnarray} \sqrt[n] y \end{eqnarray}$ (!) mY+
12.09.2011, 21:26	SmO86	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich $\begin{eqnarray} \sqrt{a} - \sqrt{b} \end{eqnarray}$ im Nenner habe, dann erweitere ich mit $\begin{eqnarray} \sqrt{a} + \sqrt{b} \end{eqnarray}$ . Die Wurzel löst sich dank der 3. binomischen Formel ja auf. Bei der Aufgabe müsste rauskommen: $\begin{eqnarray} 6 + (2 \cdot \sqrt{2}) \end{eqnarray}$ Aber irgendwie wird mir der Zusammenhang grad nicht klar. zu 2.) Jau, das macht echt Sinn. Dann kommt auch das raus, was im Buch steht, nämlich $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt[n]{y^2}}{y^2} \end{eqnarray}$ und ich bin viel schneller fertig. Da hab ich mich wohl irgendwo verhaspelt oder falsch erweitert.
12.09.2011, 22:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung der Aufgabe stimmt nicht. WIE kommst du darauf? Erweitere mit $\begin{eqnarray} 3 + \sqrt 2 \end{eqnarray}$ , dann steht im Nenner 9 - 2 = 7, oder? mY+
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13.09.2011, 10:40	SmO86	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja dann rechne ich nochmal nach. Also... $\begin{eqnarray} \frac{14}{3-\sqrt{2}} = \frac{14 \cdot (3+\sqrt{2})}{3- \sqrt{2} \cdot (3+\sqrt{2} ) } = \frac{14 \cdot (3+\sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{14 \cdot (3+\sqrt{2})}{7} = 2 \cdot (3+\sqrt{2}) = 6 + (2 \cdot \sqrt{2}) \end{eqnarray}$ Was habe ich den falsch gemacht?
13.09.2011, 11:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich nichts... Bis auf das, dass du eine Klammer vergessen hast, stimmt es ohnehin, ich hab' zuvor nicht gesehen, dass du da ausmultipliziert hast, sorry. $\begin{eqnarray} \frac{14}{3-\sqrt{2}} = \frac{14 \cdot (3+\sqrt{2})}{(3- \sqrt{2}) \cdot (3+\sqrt{2} ) } = \ldots \end{eqnarray}$ Bei $\begin{eqnarray} 2 \cdot \sqrt 2 \end{eqnarray}$ brauchst du keine Klammer (Priorität: Potenz(Wurzel) - Punkt - Strich) mY+
13.09.2011, 11:11	SmO86	Auf diesen Beitrag antworten »
Würds ja gern editieren aber geht nicht. Jetzt aber nochmal ganz kurz darauf zurück, wie erkennt man bei Wurzeln mit höheren Wurzelexponenten im Nenner mit was man erweitern muss? Das nachzuvollziehen was du geschrieben hast ist weniger das Problem, sondern vielmehr das selbstständige erkennen. Gibts da nen Trick irgendwie? Z.B. bei Aufgabe 2 bei der ich mir nen Wolf gerechnet habe, oder aber vielleicht hast du ja noch ein anderes Beispiel.
13.09.2011, 15:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
"Trick" ?, na ja, kann man so nicht sagen. Einfach so erweitern, dass bei einem minimalen Erweiterungsfaktor ein vollständiges Wurzelziehen möglich ist. z.B. $\begin{eqnarray} \frac 4 {\sqrt[5]8} = \frac {4 \cdot \sqrt[5]4}2 = 2 \sqrt[5] 4 \end{eqnarray}$ Klar?
13.09.2011, 17:22	SmO86	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap halt $\begin{eqnarray} \sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4} = \sqrt[5]{32} = 2 \end{eqnarray}$ . Okay also muss man vermutlich einfach durchn bissel Training den "Sinn" dafür schärfen. Ich guck mal ob im Netz noch ein oder 2 Aufgaben für gibt, ich hoffe dann passts. Naja dann danke nochmal für deine Hilfe!

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