Funktionsanalyse mit mehren Variablen
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12.09.2011, 14:02 Anduin91 Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsanalyse mit mehren Variablen
Folgende Aufgabenstellung hab ich vorliegen:





Gesucht ist die Funktion g(x), mit der die Lösung des Integrals minimal wird


Alles was ich bisher weiß ist das es sich dabei um eine Extremstellen mit mehreren Variablen Aufgabe handelt, einen konkreten Lösungsansatz habe ich nicht.

Kann mir jemand mal mit dem Zaunpfahl den richtigen Weg winken?

Aktuell probiere ich aus g(x) irgendwie eine Funktion zu erbauen die sich wurzel x annähert, aber außer Taylorpolynome kenne ich auch da keine Wege solche funktionen zu bauen.
12.09.2011, 14:19 Anduin91 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt in meiner Ideenlosigkeit mal Taylorpolynom benutz um Wurzel x herzuleiten,
komme aber natürlich auf eine falsche Lösung da nach einer allgemeinen Lösung und nicht bezogen auf einen Punkt gefragt ist... Hammer
12.09.2011, 14:32 Anduin91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, neuer Ansatz:

Ich habe mir mal das Integral näher angesehen und gemerkt es geht nur von 0-1, also mach ich mir mal die Mühe das Integral zu lösen und seh mal ob ich mit der daraus entstehenden Formel was anfangen kann.
12.09.2011, 14:37 Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, einfach mal ausrechnen.

Aber für danach schon die Frage: Kennst du dich mit mehrdimensionaler Extremwertuntersuchung (Stichwort Gradient, Hessematrix) aus? In der Schulmathe doch eher nicht, oder?
12.09.2011, 14:44 Anduin91 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hab ich mich ins falsche Themengebiet eingetragen, Hessematrix und Co ist mein aktuelles Thema, konnte aber bisher noch keinen Zusammenhang herstellen.
Hab inzwischen eine recht lange und anspruchsvolle Funktion I= ............
Bestehend aus a + b,

ich vermute mal mithilfe von Partieller Ableitung lässt sich jetzt irgendwie ein a und ein b bestimmen, aber ich bin leider noch relativ unbeholfen was das angeht.
12.09.2011, 14:49 Anduin91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich denke ich hab raus was gemacht werden muss:

Meine Funktion I=.............. (aus a+b)
in die Hessematrix eintragen, Determinante =0 setzten und hoffen das irgendwas rauskommt das mir sagt wie groß a und b sein müssen, ich probier das mal.... Freude
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12.09.2011, 14:51 Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss sagen, ich habe mir nicht die Arbeit gemacht, aber WolframAlpha macht sie ja auch für uns.

Überprüfe das mal und wenn es nicht stimmt, dann müssen wir doch leider Schritt für Schritt machen (obwohl das auch Wolfram macht).

Ansonsten stehen danach die partiellen Ableitungen nach a und b an.
12.09.2011, 14:59 Anduin91 Auf diesen Beitrag antworten »

wie erwartet hab ich mich wohl irgendwo in der Integration verrechnet, zumindest kleine Abweichungen sind vorhanden ^^'

Abgesehen davon, nach dem Ableiten nach a und b sollte eine Matrix entstehen:



Weiterhin angenommen meine Ableitungen sind richtig und ich kann in meine Matrix die ableitungen eintragen,

um die Extremwerte für a und b zu finden durch die das Integral möglichst gering wird muss ich doch die Determinante der Hessematrix =0 setzten, richtig?

Hab das ganze vorhin mit Zahlenwerten (falsch aber egal) gemacht und heraus kam eine abhängigkeit a von b, laut Musterlösung(hab nur endergebnis) sollten es aber 2 feststehende Zahlen sein.

Mach ich was falsch?
12.09.2011, 15:03 Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du musst den Gradienten = 0 setzen. Du rechnest die partiellen Ableitungen nach a und b aus und setzt diese = 0. Damit erhälst du zwei feste Zahlen, welche du dann in die Hessematrix einträgst. Danach musst du prüfen, oder die Hessematrix positiv definit ist, wir suchen immerhin ein Minimum.
12.09.2011, 15:09 Anduin91 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ich das richtig verstehe:


Determinate bilden :



Funktion *Funktion - Funktion^2 = 0

ich seh nicht ganz wie dabei Feste (Reele Zahlen?) rauskommen können, aber ich probiers nochmal mit dem richtigem Integral
12.09.2011, 15:12 Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du meinen Beitrag gelesen? Du musst den Gradienten = 0 setzen, die Hessemtarix liefert nur die Überprüfung. Analog zur ersten / zweiten Ableitung im Eindimensionalen. Dort setzt du ja auch nicht die zweite Ableitun gleich 0, um Extremstellen zu finden. Augenzwinkern
12.09.2011, 15:23 Anduin91 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht werf ich da jetzt Begriffe durcheinander, aber mit Gradient meinst du doch den Nabla Operator?

=

D.h dann

Oder versteh ich's immernoch falsch?
12.09.2011, 15:26 Anduin91 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, jetzt komm ich auf realistische ergebnisse, thx für die Hilfe


edit: zu früh gefreut, gerade gemerkt das ich 0 = 0 ausgerechnet hab, da kann irgendwas nicht

Damit ihr was konkretes habt:


Soweit hab ich die Aufgabe gebracht, wenn ich jetzt aber den Gradienten =0 setzten will habe ich eine einzelne Gleichung mit 2 unbekannten, oder?
12.09.2011, 15:43 Anduin91 Auf diesen Beitrag antworten »

Letzer Post: Bin endlich auf die richtige Lösung gekommen nachdem ich gemerkt hab das es sich sehr wohl um 2 Gleichungen handelt:

0= f(a) und 0= f(b)

Wen's interessiert: die richtige Lösung war g(x)=4/5x+4/15

Thx Cel fürs nachhelfen
12.09.2011, 16:41 Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann hast du ja Schritt für Schritt den Weg und auch die richtige Lösung gefunden. Freude

Falls du noch mal reinschaust: Nabla bekommst du via .

code: 
1:

\nabla
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