Kostenfunktion aus Textangaben ermitteln

12.09.2011, 17:16

nyx_90

Kostenfunktion aus Textangaben ermitteln

Meine Frage:
Mein Nachhilfekind hat mir eine Aufgabe vorgelegt, die an sich nicht schwer ist, jedoch gerate ich bei einigen wirtschaftlichen Begriffen ein wenig ins Straucheln, da ich selbst auf keinem Wirtschafsgymnasium war - mein Nachhilfekind allerdings schon.
Ich habe die betreffende Aufgabe als Bild angehängt. Man soll mit Hilfe des vorliegenden Textes K(x) belegen bzw. die Faktoren 0,5, -3, 7,5 und die Konstante 16.
(ME = Mengeneinheit, GE = Geldeinheit)

Meine Ideen:
Ich bin so vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} K(x) = ax³ + bx² + cx + d \end{eqnarray*}$ , da eine ganzrationale Funktion 3. Grades
und ihre Ableitung
$\begin{eqnarray*} K'(x) = 3ax² + 2bx + c \end{eqnarray*}$ .
K(x) ist die allgemeine Form und K'(x) ihre Ableitung, die Vorfaktoren $\begin{eqnarray*} a, b, c, d \end{eqnarray*}$ sollen mit Hilfe eines LGS errechnet werden.

Stelle dazu Gleichungen aus den Textangaben auf:
$\begin{eqnarray*} K(2) = 8a + 4b + 2c + d = 23 \end{eqnarray*}$ (siehe 2. Satz),
$\begin{eqnarray*} K'(2) = 12a + 4b + c = 1,5 \end{eqnarray*}$ (da der Kostenzuwachs die Steigung ist).
Weiterhin betragen die Fixkosten 16 GE, was der Konstanten d entspricht, also $\begin{eqnarray*} d = 16 \end{eqnarray*}$ .
Meine Gleichungen bis hier:

$\begin{eqnarray*} K(2) = 8a + 4b + 2c = 7 \end{eqnarray*}$ (da d = 16, da 23 - 16 = 7)
$\begin{eqnarray*} K'(2) = 12a + 4b + c = 1,5 \end{eqnarray*}$ .

Mir fehlt nun zum Lösen des Gleichungssystems eine dritte Gleichung, da wir ja auch 3 Unbekannte haben.
Die Information dazu muss also in
"Bei 1 ME betragen die variablen Stückkosten 5 GE"
oder
"die Kapazitätsgrenze liegt bei 7 ME"
zu finden sein.

Mit beiden Sätzen / wirtschaftlichen Begriffen kann ich leider absolut gar nichts anfangen, mein Nachhilfekind auch nicht..

Wäre für jede Hilfe dankbar.

12.09.2011, 17:36

mYthos

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Du musst noch die variable Stückkosten-Angabe hier hineinbringen.
Die variable Stückkostenfunktion erhalten wir einfach durch Division der variablen Kostenfunktion (d.i. die Kostenfunktion OHNE Fixkosten!) durch die Stückzahl:

$\begin{eqnarray*} k_v(x) = \frac{K_v(x)} x \end{eqnarray*}$

Die Kapazitätsgrenze gibt nur die obere Grenze der Stückzahl an, sie limitiert also die Definitionsmenge nach oben.

mY+

12.09.2011, 17:45

nyx_90

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Zitat:

Original von mYthos
Du musst noch die variable Stückkosten-Angabe hier hineinbringen.
Die variable Stückkostenfunktion erhalten wir einfach durch Division der variablen Kostenfunktion (d.i. die Kostenfunktion OHNE Fixkosten!) durch die Stückzahl:

$\begin{eqnarray*} k_v(x) = \frac{K_v(x)} x \end{eqnarray*}$

Erstmal danke für die zeitnahe Antwort!

Wenn ich dich richtig verstanden habe, wäre meine letzte Gleichung folgendes:

$\begin{eqnarray*} k_v(x) = \frac{K_v(x)} x \end{eqnarray*}$ |x = 1, k_v(x) = 5
$\begin{eqnarray*} k_v(1) = \frac{K_v(1)} 1 = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_v(1) = \frac{ax³ + bx² + cx} 1 = 5 \end{eqnarray*}$ | x = 1
$\begin{eqnarray*} k_v(1) = \frac{a*1³ + b*1² + c*1} 1 = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_v(1) = \frac{a + b + c} 1 = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_v(1) = a + b + c = 5 \end{eqnarray*}$

richtig?

Grüße

12.09.2011, 18:11

nyx_90

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In der Tat komme ich nach dem Lösen des LGS auf die im Text angegebenen Faktoren!

Die Wahl des ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich würde ich so treffen:

1 ME = 10000 Stck

$\begin{eqnarray*} D_K = \mathbb N \leq 7 / \{0\} \end{eqnarray*}$

es soll \ {0} heißen, den Backslash bekomme ich mit dem Editor nicht angezeigt.

12.09.2011, 18:50

mYthos

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Ja, so weit richtig, allerdings etwas umständlich.
BEVOR du nämlich 1 in die variable Kostenfunktion einsetzt, solltest du diese erst allgemein formulieren:

$\begin{eqnarray*} k_v = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt $\begin{eqnarray*} k_v(1) = 5 \end{eqnarray*}$ , also sofort

$\begin{eqnarray*} 5 = a + b + c \end{eqnarray*}$

Doch einfacher und auch eleganter ...
___________________

Definitionsmenge:

$\begin{eqnarray*} \mathbb D_k = \{ x | 0 < x \leq 7 \}_{\mathbb N} \end{eqnarray*}$

Den Backslash erreicht du übrigens mit

code:
1:	\backslash

-->

$\begin{eqnarray*} \backslash \end{eqnarray*}$

mY+

13.09.2011, 12:00

nyx_90

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$\begin{eqnarray*} D_K = x \leq 7 \backslash \{0\} , x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Reicht das nicht auch schon so? Ist jetzt nur eine rein formelle Frage!
Wenn x kleinergleich 7 und ungleich 0 ist, darüber hinaus ein Element von N, heißt das doch nichts anderes als 0 < x <= 7.
$\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ beschreibt doch die Menge der positiven ganzen Zahlen.

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