konvergierende Folge

24.12.2006, 16:22	lonesome-dreamer	Auf diesen Beitrag antworten »
konvergierende Folge Hallo zusammen, gegeben ist die Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_1=3 \ , \ a_{n+1}=\sqrt{a_n+12} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ . Es soll gezeigt werden, dass die Folge konvergiert und der Grenzwert soll bestimmt werden. Ich habe bis jetzt gezeigt, dass die Folge durch 4 nach oben beschränkt ist. Nun habe ich angenommen, dass die Folge monoton wächst, also, dass $\begin{eqnarray} a_n \leq a_{n+1} \end{eqnarray}$ . Aber ich weiß nicht, wie ich das beweisen soll. Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben? Gruß und frohe Weihnachten Natalie
24.12.2006, 18:32	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion.
25.12.2006, 11:02	lonesome-dreamer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für den Tipp. Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich den Beweis so machen kann: Behauptung: $\begin{eqnarray} a_n \leq a_{n+1} \end{eqnarray}$ Induktionsanfang: n=1: $\begin{eqnarray} 3 \leq \sqrt{15} \end{eqnarray}$ stimmt. Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray} a_n \leq\sqrt{a_n +12} \end{eqnarray}$ Indutkionsschluss: $\begin{eqnarray} \sqrt{a_n +12} \leq 4 \end{eqnarray}$ . Denn es gilt $\begin{eqnarray} a_n < 4 \end{eqnarray}$ Und jetzt komm ich nicht weiter, bzw. weiß ich nicht, ob ich das richtig gemacht habe.
25.12.2006, 11:40	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
So verkehrt ist das gar nicht, was du da gemacht hast, aber dein Induktionsschluss ist nicht vollständig. Mein Vorschlag: Angenommen, $\begin{eqnarray} a_n \leq a_{n+1} \end{eqnarray}$ . Dann folgt: $\begin{eqnarray} & \sqrt{a_n+12} &\leq \sqrt{a_{n+1}+12} \\ \Leftrightarrow& a_{n+1} &\leq a_{n+2} \end{eqnarray}$ Gruß, therisen
25.12.2006, 11:47	lonesome-dreamer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist damit also bewiesen, dass die Folge monoton wächst. Und da die Folge auch beschränkt ist, ist sie konvergent, was ja zu beweisen war. Und wie funktioniert es mit der Grenzwertbestimmung? Muss ich den überhaupt noch extra bestimmen? Die Folge ist ja beschränkt durch 4, was doch dem Grenzwert entspricht. Oder irre mich da?
25.12.2006, 12:30	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Grenzwert gilt es die Gleichung $\begin{eqnarray} a=\sqrt{a+12} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ aufzulösen. Wie du richtig gesagt hast, erhält man dann als Grenzwert 4. Gruß, therisen
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25.12.2006, 14:30	lonesome-dreamer	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe. Gruß Natalie

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