Homomorphiesatz im VR

12.09.2011, 20:12	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphiesatz im VR Hallo, ich habe hier folgendes: V K-VR, K Körper. U,W Unterräume von V. $\begin{eqnarray} i:U\to U+V \end{eqnarray}$ Inklusionsabbildung $\begin{eqnarray} \pi : U+V\to (U+W)/W \end{eqnarray}$ Projektionsabbildung $\begin{eqnarray} \varphi := \pi\circ i: U\to (U+V)/W \end{eqnarray}$ Nach Aufgabenteil (i) bereits gezeigt: $\begin{eqnarray} U\cap W = \operatorname{ker} \varphi \end{eqnarray}$ Beh. (ii): Die von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ induzierte Abb. $\begin{eqnarray} \bar\varphi : U/(U\cap W)\to (U+W)/W \end{eqnarray}$ ist ein Isomorphismus. Mach Homomorphiesatz ist $\begin{eqnarray} U/\operatorname{ker}\varphi \to \operatorname{im}\varphi \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus. bleibt also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \operatorname{im}\varphi = (U+W)/W \end{eqnarray}$ gilt. Das ist gdw. $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ surjektiv. Zeige also für beliebiges x in (U+W)/W ex. y in U mit $\begin{eqnarray} \varphi (y) = x \end{eqnarray}$ Bis dahin okay. x hat die Form x=u+W für ein passendes u in U. Und an der Stelle komm ich nicht mehr mit. Die durch $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ induzierte Abbildung existiert und für die gilt $\begin{eqnarray} \bar\varphi(u+(U\cap W))\in \operatorname{im}\varphi \end{eqnarray}$ Na jedenfalls krieg ich's nicht hin, hier jetzt zu zeigen, dass es so ein u gibt für jedes x. Hilfe wäre nett und willkommen, grüße, m
12.09.2011, 20:48	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist trivialerweise surjektiv, denn jedes Element aus $\begin{eqnarray} (U+W)/W \end{eqnarray}$ hat die Form $\begin{eqnarray} u+W \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u \in U \end{eqnarray}$ . Denn das w wird quasi von der Nebenklasse geschluckt. Alternativ könnte man hier auch mit Dimensiongründen argumentieren.
12.09.2011, 21:16	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Dann ist okay. Aber könnte nicht f(u)=u'+W mit u != u' sein? Wieso das nicht?
12.09.2011, 21:25	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll denn hier f sein? Falls du $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ meinst: Es ist doch per Definition der ganzen Abb., die du da oben beschreibst: $\begin{eqnarray} \varphi(u) = u+W \end{eqnarray}$ PS: Du hast übrigens in der Aufgabenstellung ein paar mal V statt W geschrieben. Das könntest du noch ausbessern.
13.09.2011, 13:01	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja f sollte phi sein. Aber ich versteh' das nicht so ganz. Die Zuordnungsvorschrift ist ja nicht explizit gegeben. Nur weil eine funktion g:W->W definiert ist, heißt das ja nicht das $\begin{eqnarray} w\mapsto g(w)=w \end{eqnarray}$ , ist ja klar. Warum sollte denn jetzt $\begin{eqnarray} \varphi : U\to (U+W)/W \end{eqnarray}$ direkt $\begin{eqnarray} u\mapsto (u+w)+W \end{eqnarray}$ implizieren. Woher weiß ich denn in dem Fall, dass $\begin{eqnarray} \phi(u)\neq u'+W \text{ mit } u'\neq u \end{eqnarray}$ gilt? $\begin{eqnarray} (u+w)+W=u+(w+W)=u+W \end{eqnarray}$ ist klar, da $\begin{eqnarray} w=0-w\in W \Leftrightarrow w+W = 0+W = W \end{eqnarray}$ m
13.09.2011, 22:49	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du scheinst nicht zu wissen, was $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ genau sind. Es ist $\begin{eqnarray} i: U \to U+W, u \mapsto u \end{eqnarray}$ die Inklusion und $\begin{eqnarray} \pi: U+W \to (U+W)/W, x \mapsto x + W \end{eqnarray}$ die Projektion eines Elements auf seine Nebenklasse. Hierbei hat x die Form $\begin{eqnarray} x = u+w \end{eqnarray}$ . Dementsprechend weiß man dann also was $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ macht: $\begin{eqnarray} \varphi(u) = \pi(i(u))=\pi(u)=u+W \end{eqnarray}$ . Ist damit nun alles klar? Noch eine kurze Frage: Wie hast du denn im vorherigen Aufgabenteil den Kern bestimmt, wenn du die genaue Abbildungsvorschrift gar nicht kanntest?
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16.09.2011, 14:15	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Danke. Wie ich das lösen konnte? Ich habe bereits angenommen, dass es so ist. Aus meinem Skript habe ich nämlich entnommen, das als z.B. Projektionsabbildung immer die Abbildung bezeichnet wird, die nach dem Hom.Satz von der Definitionsmenge (sagen wir mal A) eines Hom (f) in den Quotientenraum A/kef(f) geht, die dann ein a aus A auf a+ker(f) abbildet. Deshalb war mir nicht klar, jede Abbildung (z.B. f:A->A/B), die als "Projektionsabbildung" bezeichnet wird, direkt die Zuordnung f(a)=a+B "impliziert". Stimmt's? Analog für "Inklusionsabbildung". Habe ich das richtig verstanden? Grüße, m
17.09.2011, 14:33	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab den Thread irgendwie aus den Augen verloren, sorry dafür. Du hast das jetzt aber richtig verstanden. Wenn von der Projektionsabbildung $\begin{eqnarray} V \to V/U \end{eqnarray}$ die Rede ist, so ist $\begin{eqnarray} v \mapsto v+U \end{eqnarray}$ gemeint. Manchmal sagt man auch kanonische Projektion. Wenn von der Inklusionsabbildung $\begin{eqnarray} A \to B \end{eqnarray}$ die Rede ist, wo $\begin{eqnarray} A \subseteq B \end{eqnarray}$ gilt, so ist einfach $\begin{eqnarray} a \mapsto a \end{eqnarray}$ gemeint.

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