Vektorfeld --> Gradientenfeld?

12.09.2011, 22:54

moonsymmetry

Vektorfeld --> Gradientenfeld?

Hi,
Gegeben ist das Vektorfeld:
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = (xye^{{\frac{x^2}{2}}}, e^{\frac{x^2}{2}} + \frac{1}{y} - 5 ) \end{eqnarray*}$

man soll überprüfen ob es sich um ein Gradientenfeld handelt und alle möglichen Stammfunktionen berechnen.

Als erstes benütze ich die Integrabilitätsbedingungen.
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_i}{\partial x_j} = \frac{\partial f_j}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$

hm was besagt mir das? Wenn diese Bedingungen erfüllt sind dann liegt ein Gradientenfeld vor? Ist das richtig?

okay:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial y}( xye^{\frac{x^2}{2}} )= x \cdot e^{\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_2}{\partial x}( e^{\frac{x^2}{2}} + \frac{1}{y} - 5) = x \cdot e^{\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$

die Integrabilitätsbedingungen sind offensichtlich erfüllt.

wie geht es nun weiter?
lg

12.09.2011, 23:00

Mulder

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RE: Vektorfeld --> Gradientenfeld?
Finde ein skalares Feld $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , dessen Gradient gerade wieder $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist.

12.09.2011, 23:03

Cel

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Ich überlasse sofort wieder Mulder das Feld (Wortspiel Augenzwinkern

), möchte aber gerne noch diesen Thread als Wegweiser mitgeben. Ich wusste doch, dass ich schon mal etwas dazu geschrieben habe.

12.09.2011, 23:10

Mulder

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Also da ich früh raus muss, bin ich jetzt eh weg. Wenn du also noch ein wenig nachtschwärmerst, kannst du gerne übernehmen. Augenzwinkern

12.09.2011, 23:39

moonsymmetry

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na dann mal los smile

also nach dem schema im anderen thread als erstes gelten:
$\begin{eqnarray*} F_x(x,y) = xye^{\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$
also die partielle ableitung nach x der Stammfunktion muss f_1 ergeben.
also brauchen wir einmal die Stammfunktion:

$\begin{eqnarray*} \int xye^{\frac{x^2}{2}} dx \end{eqnarray*}$
mit substitution $\begin{eqnarray*} u = \frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$
komme ich hier aufdas ergebnis:
$\begin{eqnarray*} y \cdot e^{\frac{x^2}{2}} + C(y) \end{eqnarray*}$
so wie ich das halt sehe einfach hinten die konstante in abhängigkeit von y dazuschreiben. wieso?

im nächsten schritt muss gelten:
$\begin{eqnarray*} F_y (x,y) = e^{\frac{x^2}{2}} + \frac{1}{y} - 5 \end{eqnarray*}$
warum muss ich nun das ergebnis von oben _ableiten_ ?

nagut ich mach mal: $\begin{eqnarray*} F_y (x,y) = e^{\frac{x^2}{2}} + C_y(y) \end{eqnarray*}$
Wenn ich mit f_2 vergeiche ergibt sich $\begin{eqnarray*} C_y(y) = \frac{1}{y} -5 \end{eqnarray*}$
hm... das integriert ergibt $\begin{eqnarray*} ln(y) - 5y \end{eqnarray*}$

also habe ich $\begin{eqnarray*} F = y \cdot e^{\frac{x^2}{2}} + ln(y) -5y \end{eqnarray*}$ ??
verwirrt

13.09.2011, 00:30

Cel

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Nun, das allererste: Bilde mal den Gradienten deiner Funktion und du wirst sehen: Das ist eine Stammfunktion. Allerdings nur eine. Du sollst alle möglichen Stammfunktionen bestimmen, was machen wir also?

Zu den anderen Fragen. Man erarbeitet sich schrittweise eine Stammfunktion. Man sagt sich, ich nenne die Funktion F und leite nach x ab. Man weiß, was rauskommen muss und integriert wieder gegen x. So, warum kommt dann eine Funktion dazu, die nur von y abhängt? Weil die eben bei der Ableitung nach x wegfällt, sie ist bzgl. x konstant. Danach muss man diese Fuktion nach y ableiten, warum? Weil man auf die beiden Komponentenfunktionen von f durch Ableiten von F kommt. Das ist der gleiche Funktionsterm, nur leiten wir verschieden ab. Und da kommt dann die Ableitung dieser Funktion, die nur von y abhängt, ins Spiel.

Ich hoffe, das ist verständlich. Wie gesagt, du musst dein F nur ein wenig korrigieren, wir wollen alle Stammfunktionen.

13.09.2011, 00:37

moonsymmetry

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danke, ich glaube es ist so halbwegs verständlich.
ich werde noch weitere beispiele rechnen und falls fragen aufkommen meld ich mich smile

bezüglich "alle" Stammfunktionen:
Du meinst vermutlich dass ich die Integrationskonstante vergessen habe oder? smile

$\begin{eqnarray*} F = ye^{\frac{x^2}{2}} + lny - 5y + C \end{eqnarray*}$

13.09.2011, 00:42

Cel

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Zitat:

Original von moonsymmetry
ich werde noch weitere beispiele rechnen und falls fragen aufkommen meld ich mich

Wunderbar!

Zitat:

Original von moonsymmetry
bezüglich "alle" Stammfunktionen:
Du meinst vermutlich dass ich die Integrationskonstante vergessen habe oder? smile

$\begin{eqnarray*} F = ye^{\frac{x^2}{2}} + lny - 5y + C \end{eqnarray*}$

Wunderbar 2! Freude

13.09.2011, 00:44

Gast11022013

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Die Vorgehensweise, die Cel beschreibt, habe ich auch schon desöfteren angewandt.

In diesem Dokument wird sie exemplarisch vorgeführt (was mir sehr geholfen hat):

https://vowi.fsinf.at/images/3/35/TU_Wie...ammfunktion.pdf

Wink

(Cel: Link korrigiert, du hast den url-Tag zu früh geschlossen. Augenzwinkern

)

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