Was heißt eindeutig bestimmt

13.09.2011, 10:09

Meier

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Was heißt eindeutig bestimmt

Könnt ihr mir bitte folgenden Text erörtern:

"Für jeden Vektorraum V und jede lineare Abbildung g:V->V gilt: wenn die Menge {v1,v2,v3,v4} eine Basis von V ist, dann ist g durch die Werte g(v1),g(v2) g(v3), g(v4)
eindeutig bestimmt."

Mir ist klar das ich für eine Basis laut Definition ein Erzeugersystem + die linerare unabhängigkeit der Vektoren festgelegt sein muss. Nur verstehe ich nicht wie ich diese Behauptung beweißen bzw widerlegen soll.

DAnke für jede Hilfe
Meier

13.09.2011, 10:16

Eric_09

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RE: Was heißt eindeutig bestimmt
Sei $\begin{eqnarray*} h: V \to V \end{eqnarray*}$ linear mit $\begin{eqnarray*} h(v_1), h(v_2), h(v_3), h(v_4) \end{eqnarray*}$
eine "weitere" solche Abbildung,

so folgt $\begin{eqnarray*} g = h \end{eqnarray*}$

13.09.2011, 10:35

Meier

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RE: Was heißt eindeutig bestimmt
hmm das kann schon sein, aber kannst du mir eine andere Formulierung von "eindeutig bestimmt" geben, da es mich an dieser Formulierung aufhängt..

mfg

13.09.2011, 11:13

klarsoweit

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RE: Was heißt eindeutig bestimmt
Ich weiß nicht, ob dir die eigentliche Aussage klar ist. Deswegen schreibe ich das mal etwas ausführlicher:

Also du hast eine Abbildung $\begin{eqnarray*} g: V \to V \end{eqnarray*}$ und eine Basis {v1,v2,v3,v4} von V. Behauptet wird nun, daß die Abbildung g durch die Werte g(v1),g(v2) g(v3), g(v4) eindeutig bestimmt ist.

Das heißt (um den Gedanken von Eric aufzugreifen), wenn du eine weitere Abbdildung $\begin{eqnarray*} h: V \to V \end{eqnarray*}$ hast mit $\begin{eqnarray*} h(v_i) = g(v_i) \end{eqnarray*}$ für i = 1,2,3,4 , dann ist h = g. Das heißt also, es kann keine weitere von g verschiedene Abbildung mit den genannten Eigenschaften geben und somit ist g eindeutig bestimmt.

13.09.2011, 11:48

Meier

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RE: Was heißt eindeutig bestimmt
aso aso (der Sprung von erik war mir etwas zu schnell). Das heißt also mit "eindeutig bestimmt meint man auch "genau eine"...ich hoffe ich lehen mich jetzt nicht zu weit aus dem fenster....

Also müsste die erste Aussage ja korrekt sein.

Jetzt hab ich in der Zweiten Angabe stehen:

Für jeden Vektorraum V und jede lineare Abbildung g:V->V gilt: wenn die Menge {v1,v2,v3,v4} eine lineare unabhängige Teilmenge von V bildet, dann ist g durch die Werte g(v1),g(v2) g(v3), g(v4)
eindeutig bestimmt."

Mein Schluss hierfür wäre das wenn ich mit z.B im Körper der reelen ZAhlen befinde ich verschiedene Vektorräume habe(R2, R3, usw). Somit können die lineare Abbildungen nicht eindeutig bestimmt sein oder

danke

13.09.2011, 12:03

klarsoweit

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RE: Was heißt eindeutig bestimmt

Zitat:

Original von Meier
Also müsste die erste Aussage ja korrekt sein.

Das ist sie, aber dennoch nicht bewiesen.

Zitat:

Original von Meier
Mein Schluss hierfür wäre das wenn ich mit z.B im Körper der reelen ZAhlen befinde ich verschiedene Vektorräume habe(R2, R3, usw). Somit können die lineare Abbildungen nicht eindeutig bestimmt sein oder

Die Begründung ist völlig daneben. Erstmal findest du in R² bzw. R³ keine Menge von 4 linear unabhängigen Vektoren. Außerdem mußt du innerhalb eines Vektorraums (V) bleiben.

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13.09.2011, 12:14

Meier

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RE: Was heißt eindeutig bestimmt
Zu Erstens:

Nun gut und wie kann ich ihrer Meinung nach einen Beweiß ansetzen?
Ich hätte zuerst die BAsis definiert mit den 4 Vektoren und dann bestimmt, dass eine andere Basis die selben Vektoren haben müsste....

zu Zweitens:

Vollkommen Richtig....Dann müsste ich (Körper sind am Beispiel die Reelen Zahlen) im R4 eine Menge von 4 Vektoren finden, die eine Teilmenge bilden. Um die Aussage zu widerlegen müsste ich demnach eine zweite Menge finden, damit sie nicht eindeutig bestimmt ist.....Geht dieser Ansatz in die richtige Richtung?

mfg

13.09.2011, 13:06

klarsoweit

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RE: Was heißt eindeutig bestimmt

Zitat:

Original von Meier
Nun gut und wie kann ich ihrer Meinung nach einen Beweiß ansetzen?

Beweis. Es wird mit einem Beweis nichts weiß gemacht, auch wenn es manchmal so aussieht. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Meier
Ich hätte zuerst die BAsis definiert mit den 4 Vektoren und dann bestimmt, dass eine andere Basis die selben Vektoren haben müsste....

Ich habe große Zweifel, ob du zum einen wirklich die zu beweisende Aussage und zum anderen gewisse Grundlagen der Algebra verstanden hast. Du brauchst hier keine Basis definieren, denn diese ist als gegeben festgelegt. Und es geht geht auch nicht um eine andere Basis, sondern um eine andere Abbildung.

Zitat:

Original von Meier
Vollkommen Richtig....Dann müsste ich (Körper sind am Beispiel die Reelen Zahlen) im R4 eine Menge von 4 Vektoren finden, die eine Teilmenge bilden.

Wenn du im R^4 4 linear unabhängige Vektoren hast, dann bilden diese eine Basis und damit trifft der erste Fall zu. Der R^4 ist also ungeeignet für ein Gegenbeispiel.

13.09.2011, 13:09

martha.1981

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Zu erstens: nimm zwei beliebige Funktionen $\begin{eqnarray*} g,h \end{eqnarray*}$ und zeige, dass dann $\begin{eqnarray*} \{g(v_1),\hdots , g(v_n)\}=:G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{h(v_1),\hdots , h(v_n)\}=:H \end{eqnarray*}$ den selben Raum aufspannen.

Das also dass z.B. jedes w aus $\begin{eqnarray*} \langle G \rangle \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \langle H \rangle \end{eqnarray*}$ liegt und andersrum.

Damit sind g und h schon identisch. Warum?

13.09.2011, 13:16

klarsoweit

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Hää? Was ist denn das für eine Begründung? verwirrt

verwirrt

Wegen $\begin{eqnarray*} g(v_i) = h(v_i) \end{eqnarray*}$ spannen G und H automatisch denselben Raum auf. Deswegen müssen doch aber die Abbildungen nicht gleich sein.

13.09.2011, 13:41

martha.1981

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Na dann stimmen die Dimensionen, Quellmeng, Zielmenge und Bild sind gleich. Reicht das nicht? Wie zeigt man denn die Gleicheit zweier Abbildungen?

EDIT: ah stimmt, dann kann ja immernoch die Zuordnung nicht stimmen, also eine Permutation sein. Oder?

13.09.2011, 14:08

Airblader

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Zitat:

Original von martha.1981
Wie zeigt man denn die Gleicheit zweier Abbildungen?

Indem man zeigt, dass beide Abbildungen ein Element der Definitionsmenge auf das selbe Element abbilden. Und dieser Weg ist hier nicht nur der normale Weg, nicht nur der einfachste Weg, es ist auch der sinnvollste Weg, da es gleich hilft, einzusehen, warum die Aussage denn stimmt.

Das Tolle an einer Basis ist doch, dass man damit jedes Element des Vektorraums darstellen kann. Und das tolle an linearen Funktionen ist ihre ... naja ... Linearität. Wenn man das nun richtig ausnutzt, dann ist man auch schon fast fertig.

Warum du dich in den Thread eingemischt hast, den klarsoweit völlig unter Kontrolle hatte, verstehe ich aber nicht. Siehe Boardprinzip. Ich habe jetzt übrigens geschrieben, da klarsoweit seit gut einer dreiviertel Stunde offline ist.

air

13.09.2011, 16:56

Meier

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Hey, danke für die ganzen Antworten

@klarsoweit
Wenn ich die Aufgabe richtige verstanden habe muss ich überprüfen ob die Abbildungen (jede einzlne) g(v1),g(v2) g(v3), g(v4) die selbe BAsis bilden wie eine zwiete abbildung h:V ->V

Somit dann sollte sich (durch deine hilfe) g =h ergeben.
Is das so richtig?

mfg

13.09.2011, 17:13

Airblader

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Nein. Jetzt noch einmal in aller Ausführlichkeit, wenn auch das nicht verständlich ist, solltest du nochmal mit mathematischen Grundlagen anfangen:

Du hast eine Basis $\begin{eqnarray*} B = \{v_1, v_2, v_3, v_4\} \end{eqnarray*}$ gegeben, sowie zwei Abbildungen $\begin{eqnarray*} f,g\colon V \to V \end{eqnarray*}$ , für die gilt $\begin{eqnarray*} f(v_i) = g(v_i) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \in \{1, 2, 3, 4\} \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist nun $\begin{eqnarray*} f = g \end{eqnarray*}$ .

Die zu zeigende Identität ist, da beide Funktionen auf V operieren, auch dadurch zu beweisen, dass du $\begin{eqnarray*} f(x) = g(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ zeigst.

air

13.09.2011, 17:43

martha.1981

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Edit (jester.): Komplettlösung entfernt. Bitte halte dich an das Boardprinzip!

13.09.2011, 17:46

Airblader

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@ martha.1981

Wieso löst du eine Aufgabe, die nicht deine ist? Damit nimmst du Meier die Möglichkeit, selbst zu lösen. Komplettlösungen sind hier nicht erwünscht, editiere sie bitte also wieder raus (aber ja, es würde stimmen)!

air

13.09.2011, 19:32

martha.1981

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Okay, sorry. Kommt nicht wieder vor.

Edit: Ui, kann nicht mehr editieren Ups

Ups

13.09.2011, 21:02

Meier

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Ich danke für eure Geduld (Ich habe die Lösung nicht gesehen)

Mir ist schon klar das die Abbildung auf sich selbst ist da der Wert und Definitionsbereich jeweils V ist. (Also bildet alles aud sich selbst ab)

Also müsste die Identität von $\begin{eqnarray*} f(v_{i} ) = v_{i} \end{eqnarray*}$ sein für $\begin{eqnarray*} i \in \left\{ 1,2,3,4\right\} \end{eqnarray*}$ .

dass selbe nun auch für $\begin{eqnarray*} g(v_{i} ) = v_{i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \in \left\{ 1,2,3,4\right\} \end{eqnarray*}$ .

aber ich weiß nicht wie ich zeigen kann(anschreiben, möchte aber nicht die Lösung), dass $\begin{eqnarray*} f=g \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} f(x ) =g(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$

danke für die Geduld

14.09.2011, 10:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von Meier
Mir ist schon klar das die Abbildung auf sich selbst ist da der Wert und Definitionsbereich jeweils V ist. (Also bildet alles aud sich selbst ab)

Also müsste die Identität von $\begin{eqnarray*} f(v_{i} ) = v_{i} \end{eqnarray*}$ sein für $\begin{eqnarray*} i \in \left\{ 1,2,3,4\right\} \end{eqnarray*}$ .

Mir scheint, daß du gewisse Dinge immer noch nicht verstanden hast. Die Abbildung f ist zwar eine Abbildung vom Vektorraum V in den Vektorraum V. Das heißt aber nicht, daß jeder Vektor v auf sich selbst abgebildet wird. Beispielsweise könnte ganz einfach f(v) = 2*v sein.

Also fassen wir nochmal zusammen:
Wir haben eine Basis (v1, v2, v3, v4) von einem Vektorraum V und 2 Abbildungen f ung g mit $\begin{eqnarray*} f(v_i) = g(v_i) \end{eqnarray*}$ für i = 1,2,3,4 .
Wir wollen nun zeigen, daß f(x) = g(x) für alle x aus V ist.

Dazu nimmst du ein beliebiges x aus V. Jetzt kommt die Basis (v1, v2, v3, v4) ins Spiel. Welcher Zusammenhang besteht zwischen einem Vektor x und dieser Basis? Oder anders gefragt: wozu ist eigentlich eine Basis gut?

14.09.2011, 10:42

ThomasFF

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Dass hier die ganze zeit von der Dimension 4 ausgegangen wird, finde ich
auch ein bisschen unglücklich formuliert und das trägt glaube ich zusätzlich
zum Nicht-verständnis des Erstellers bei, aber er wollte es ja so verwirrt

verwirrt

15.09.2011, 12:50

Meier

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entschudligung für die späte antwort:

Eine Basis ist die Summe aller Linearkombinationen somit eine Erzeugersystem, wobei zusätzlich alle Vektoren linear unabhängig sein müssen. Nun ja und wozu sie gut ist, so glaub ich kann man durch die Basis jeden Vektor als Linearkombination anschreiben oder verwirrt

verwirrt

15.09.2011, 12:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Meier
Nun ja und wozu sie gut ist, so glaub ich kann man durch die Basis jeden Vektor als Linearkombination anschreiben oder verwirrt

verwirrt

Genau. Wenn du also jetzt einen Vektor x aus V nimmst, wie kannst du diesen mittels der Basis darstellen?

15.09.2011, 13:08

Meier

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Also müsste ich schreiben für $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ mit der Basis (v1, v2, v3, v4).

$\begin{eqnarray*} x = av_{1} + av_{2} +av_{3} +av_{4} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (v1, v2, v3, v4) \end{eqnarray*}$ sind die Vektoren

15.09.2011, 13:10

Meier

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sorry $\begin{eqnarray*} a \in K \end{eqnarray*}$

15.09.2011, 13:15

klarsoweit

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OK, bis auf daß du a_1, ..., a_4 nehmen mußt.

Und was wäre dann f(x) ?

15.09.2011, 13:20

Meier

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puh nachdem ja nicht wirklich was verändert wird müsste

$\begin{eqnarray*} f(x) = av_{1} + av_{2} + av_{3} +av_{4} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \in K \end{eqnarray*}$
oder?

15.09.2011, 13:28

klarsoweit

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Nein. Dann wäre ja f(x) = x . Das könnte sein, ist aber sehr unwahrscheinlich.

Außerdem hatte ich angemerkt, daß x so zu schreiben ist:

$\begin{eqnarray*} x = a_1 \cdot v_1 + a_2 \cdot v_2 + a_3 \cdot v_3 + a_4 \cdot v_4 \end{eqnarray*}$

Jetzt wende mal auf beiden Seiten die Abbildung f an.

15.09.2011, 13:30

Meier

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nun

f(x) = v1 + v2 +v3 +v4

wieso muss ich a1+ a2+...+a4 nicht nehmen?

15.09.2011, 13:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von Meier
nun

f(x) = v1 + v2 +v3 +v4

Das ist falsch und ich weiß auch nicht, wie du darauf kommst.

Zitat:

Original von Meier
wieso muss ich a1+ a2+...+a4 nicht nehmen?

Verstehe die Frage nicht. Ich denke, wie eine Linearkombination von Basisvektoren aussieht, sollte klar sein.

15.09.2011, 13:41

Meier

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Sie wollen jetzt das ich auf beiden Seiten eine Abbildung mache

Also

f(x) und f(a1*v1+a2*v2+a3*v3+a4*v4)

verstehe ich das richtig mit "beiden Seiten?
Und dann versteh ich nicht ganz wie ich die bbildung durchführen soll, denn in meiner Angabe steht ja nur, dass ich eine Abbildung von V-> V habe, aber keine Abbildungsvorschrift verwirrt

verwirrt

mfg

15.09.2011, 13:53

Airblader

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Zitat:

Original von Meier
denn in meiner Angabe steht ja nur, dass ich eine Abbildung von V-> V habe

Nochmal lesen. Da steht noch ein kleines Wörtchen mehr.

air

15.09.2011, 14:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Meier
Also

f(x) und f(a1*v1+a2*v2+a3*v3+a4*v4)

verstehe ich das richtig mit "beiden Seiten?

Das ist richtig. Allgemein gilt für eine Abbildung: wenn 2 Urbilder gleich sind, dann sind auch deren Bilder gleich.

Demzufolge folgt aus x = a1*v1+a2*v2+a3*v3+a4*v4, daß auch f(x) = f(a1*v1+a2*v2+a3*v3+a4*v4) ist.

Zitat:

Original von Meier
Und dann versteh ich nicht ganz wie ich die bbildung durchführen soll, denn in meiner Angabe steht ja nur, dass ich eine Abbildung von V-> V habe, aber keine Abbildungsvorschrift verwirrt

verwirrt

Das macht ja nichts. Trotzdem kann man ja mal f(a1*v1+a2*v2+a3*v3+a4*v4) als Ausdruck hinschreiben. Nun wissen wir, daß f eine lineare Abbildung ist. Das heißt, wir dürfen gewisse Regeln für lineare Abbildungen auf f(a1*v1+a2*v2+a3*v3+a4*v4) anwenden.

15.09.2011, 14:00

Meier

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ich habe mir die angabe jetzt schon hunderte male durchgelesen, aber meinen Sie dieses hier:

f(v1) -> v1
f(v2) -> v2
f(v3) -> v3
f(v4) -> v4

PS: Die Aussage von vorhin f(x) = v1 + v2 + v3 + v4 war eine Interpretationsfehler von meiner Seite

15.09.2011, 14:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Meier
ich habe mir die angabe jetzt schon hunderte male durchgelesen, aber meinen Sie dieses hier:

f(v1) -> v1
f(v2) -> v2
f(v3) -> v3
f(v4) -> v4

Was soll das darstellen? Daß f(v1) = v1 ist? Davon steht in der AUfgabe nichts.

15.09.2011, 14:04

Meier

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Also irgendwie posten ich andauernd durcheinander

aber die Regeln der linearen Abbildung die Sie meinen ist in diesem Fall ja

f(v1+v2+v3+v4) =f(v1)+f(v2)+f(v3)+f(v4)

oder?

15.09.2011, 14:07

Meier

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Also irgendwie posten ich andauernd durcheinander

aber die Regeln der linearen Abbildung die Sie meinen ist in diesem Fall ja

f(a1v1+a2v2+a3v3+a4v4) =a1* f(v1)+a2*f(v2)+a3*f(v3)+a4*f(v4)

oder?

15.09.2011, 14:21

klarsoweit

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Richtig.

15.09.2011, 14:27

Meier

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Aber jetzt hab ich ja noch nichts gezeit oder?

Bis jetzt habe ich ja nur gezeigt das ich ein beliebiges x durch die Basis als Linearkombination anschreiben kann und diese dann umgeformt....

Außer ich schmeiße jetzt dieses x in die zweite Funktion h und bekomme wieder das selbe heraus.

das müsste dann heißen $\begin{eqnarray*} f(x) = h(x) \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} f=h \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

15.09.2011, 14:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Meier
Außer ich schmeiße jetzt dieses x in die zweite Funktion h und bekomme wieder das selbe heraus.

Genau das solltest du jetzt tun. smile

smile

15.09.2011, 14:36

Meier

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Also

nachdem wir schon gezeigt haben, dass f(x) =a1* f(v1)+a2*f(v2)+a3*f(v3)+a4*f(v4)

dann muss ich für das selbe x aus K:
$\begin{eqnarray*} h(x) = h(a_{1}*v_{1} + a_{2}*v_{2} + a_{3}*v_{3} + a_{4}*v_{4}) \end{eqnarray*}$ daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} h(a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + a_{3}v_{3} + a_{4}v_{4}) = f(a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + a_{3}v_{3} + a_{4}v_{4}) \end{eqnarray*}$ ist weiter gleich
$\begin{eqnarray*} h(x) = f(x) \end{eqnarray*}$

das war der ganze Spuk? verwirrt

verwirrt

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