Anordnung von Realisationen bei unbekannten Verteilungen

13.09.2011, 10:50

Manny

Anordnung von Realisationen bei unbekannten Verteilungen

Hallo allerseits,

ich habe folgende kurze Frage:

Ich habe $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ stetige Verteilungen über einem Interval $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ , die ich nicht weiter kenne. Aus jeder Verteilung wird eine Realisation $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ "gezogen".

Kann ich daraus schließen, dass jede mögliche Anordnung $\begin{eqnarray*} X_{\sigma(1)} < \ldots < X_{\sigma(n)} \end{eqnarray*}$ (mit Permutationen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ) gleichwahrscheinlich ist?
Oder ist überhaupt keine Aussage über die Wahrscheinlichkeit der Anordnungen möglich?

13.09.2011, 11:29

René Gruber

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Zitat:

Original von Manny
Oder ist überhaupt keine Aussage über die Wahrscheinlichkeit der Anordnungen möglich?

So ist es. Im Extremfall könnte z.B. $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[ a + \frac{k-1}{n}(b-a), a + \frac{k}{n}(b-a) \right] \end{eqnarray*}$ stetig gleichverteilt sein, für $\begin{eqnarray*} k=1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} X_{\sigma(1)} < \ldots < X_{\sigma(n)} \end{eqnarray*}$ mit Wahrscheinlichkeit 1 für die identische Permutation $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ , und 0 für alle anderen $\begin{eqnarray*} n!-1 \end{eqnarray*}$ Permutationen.

D.h., du brauchst schon stärkere Voraussetzungen an die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Ausgangsverteilungen, wenn deine Vermutung

Zitat:

Original von Manny
dass jede mögliche Anordnung $\begin{eqnarray*} X_{\sigma(1)} < \ldots < X_{\sigma(n)} \end{eqnarray*}$ (mit Permutationen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ) gleichwahrscheinlich ist?

richtig sein soll. Hinreichend wäre z.B., dass alle $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ unabhängig identisch verteilt sind, aber das wusstest du sicher auch vorher.

13.09.2011, 17:05

Manny

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Dennoch will ich nochmal kurz nachfragen. Sobald ich die Verteilungen $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ kenne, ist klar, dass die Anordnung im Allgemeinen nicht gleichwahrscheinlich sind, wie z.B. im Fall der Gleichverteilungen auf paarweise disjunkten Intervallen.

Ich frage aber deshalb, weil ich intuitiv denken würde: wenn ich überhaupt nichts über die Verteilungen weiß, ist es doch am sinnvollsten, jede Anordnung für gleichwahrscheinlich zu halten. Oder ist diese Intuition völliger Unsinn?

14.09.2011, 09:56

René Gruber

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Zitat:

Original von Manny
wenn ich überhaupt nichts über die Verteilungen weiß, ist es doch am sinnvollsten, jede Anordnung für gleichwahrscheinlich zu halten.

Dann musst du das deutlich kenntlich machen, dass du für deine folgenden Betrachtungen diese Annahme machst: Es ist ein gewaltige Unterschied zwischen "nichts wissen über die Verteilungen" und dieser deiner Annahme.

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