Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl berechnen

13.09.2011, 11:45

biba2

Auf diesen Beitrag antworten »

Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl berechnen

Meine Frage:
Hallo, habe folgendes Problem, lerne gerade für eine Matheklausur und soll von diesen komplexen Zahlen den Real- und Imaginärteil bestimmen:

z=1/i z=1/(1-i? 3)

Meine Ideen:
Hatte in der Schule das Thema komplexe Zahlen nicht und hab mir das nun ausführlich in einem Buch durchgelesen, aber da komme ich nur so weit, dass z.B. bei z=3+2i 3 der Realteil und 2 (bzw. 2i?) der Imaginärteil wäre.
Habe auch hier im Forum nach anderen vergleichbaren Aufagben gesucht, kriege die aber irgendwie nicht auf meine 2 (obwohl die im Vergleich zu anderen echt leicht ausschauen) nicht angewendet...
Für jegliche Hilfe wäre ich echt dankbar!

13.09.2011, 11:52

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl berechnen
Betrachten wir erst einmal die Zahl $\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{1-\sqrt{3}i} \end{eqnarray*}$ , falls ich die zweite Zahl so richtig interpretiert habe, aber in Zukunft bitte Rechenzeichen benutzen statt Fragezeichen.....

erweitere im Zähler und Nenner so, dass im Nenner die dritte binomische Formel steht.

13.09.2011, 11:52

biba2

Auf diesen Beitrag antworten »

Vorweggenommen: Ich weiß, dieser Beitrag gehört in die Hochschulmathematik, sorry, hab mich verguckt.
Und außerdem wollte darauf aufmerksam machen, dass das Einfügen der Wurzel nicht wirklich geklappt hat, also einfach statt dem Fragezeichen bitte eine Wurzel 3 denken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für jegliche Hilfe danke im Voraus.

13.09.2011, 11:53

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl berechnen

Zitat:

Original von biba2
aber da komme ich nur so weit, dass z.B. bei z=3+2i 3 der Realteil und 2 (bzw. 2i?) der Imaginärteil wäre.

Der Imaginärteil ist die Zahl vor dem i, also hier die 2.

Bei Brüchen mit einer komplexen zahl im Nenner erweitert man typischerweise mit dem konjugiert komplexen Wert des Nenners. Was ist das nun wieder?

Ist $\begin{eqnarray*} z = a + b \cdot i \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \overline z := a - b \cdot i \end{eqnarray*}$ der konjugiert komplexe Wert zu z. smile

smile

EDIT: Igrizu war schon da, dann halte ich mich hier raus.

13.09.2011, 11:53

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

siehe letzten Beitrag.

13.09.2011, 11:55

allahahbarpingok

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll das Fragezeichen in deinem Post? Bitte korrigieren. Der Trick ist (zumindest kenne ich das so) immer zunächst auf die Normalform zu kommen: $\begin{eqnarray*} a+b\cdot i \end{eqnarray*}$ . Dann kann man sehr leicht Real- und Imaginärteil bestimmen, wie du es bereits anfgeführt hast.

Bei Brüchen kommt man auf die Normalform, indem man mit der dritten binomischen Formel erweitert.

Allgemein:

$\begin{eqnarray*} \frac{T}{(a+b\cdot i)} \Leftrightarrow \frac{T\cdot (a-b\cdot i)}{(a+b\cdot i)\cdot (a-b\cdot i)} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch berechnen den Ausdruck. Beachte: $\begin{eqnarray*} i^2 = -1 \end{eqnarray*}$

Mehr verrat ich nicht. Das sollte reichen, um das zu lösen.

edit: Das Board ist überbevölkert! LOL Hammer

LOL Hammer

Anzeige

13.09.2011, 11:58

biba2

Auf diesen Beitrag antworten »

Also den gesamten Bruch mit (1+i Wurzel 3)?

Dann hätten wir:

(1+i Wurzel 3) / (1-3i^2), wobei ja i^2 = -1 ist.

Nebenbei bemerkt, wo bekommt ihr bloß alle die schönen Wurzeln und Brüche her?

13.09.2011, 12:01

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von biba2
Also den gesamten Bruch mit (1+i Wurzel 3)?

Jap, so ist es.

Zitat:

Original von biba2
Dann hätten wir:

(1+i Wurzel 3) / (1-3i^2), wobei ja i^2 = -1 ist.

Das ist auch korrekt, wir haben also $\begin{eqnarray*} \frac{1+ \sqrt{3}i}{1+3} \end{eqnarray*}$ , hier sollte Real und Imaginärteil leicht zu bestimmen sein.

Zitat:

Original von biba2
Nebenbei bemerkt, wo bekommt ihr bloß alle die schönen Wurzeln und Brüche her?

Latex, du kannst dazu den Formeleditor verwenden.....

13.09.2011, 12:09

biba2

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, hatte ja in älteren Beiträgen ein wenig geschaut und denke, dass man den Bruch aufsplitten muss?

Das wäre dann:

$\begin{eqnarray*} 1\frac{a}{b} 4+\sqrt{x} 3 i\frac{a}{b} 4 \end{eqnarray*}$

Man man man, das Schreiben hier dauert ja 10 Mal länger als die Überlegung, haha, hoffe, das wird nun zu schönen Brüchen und Wurzeln Big Laugh

Big Laugh

13.09.2011, 12:11

biba2

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dem ist nicht so.

Also alte Schreibweise:

1/4+Wurzel 3*i/4 ?

Verzeih, dass es so schwer zu lesen ist...

13.09.2011, 12:11

biba2

Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei jetzt, der erste Teil der Realteil wäre und der zweite der Imaginärteil...

13.09.2011, 12:13

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das mit Latex musst du noch ein bisschen üben, zwischen die geschweiften Klammern kommen die Werte, so ergibt die Eingabe:

code:
1:	\frac{1}{4}

folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Also hast du:

code:
1:	\frac{1}{4}+ \frac{\sqrt{3}}{4}i

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}+ \frac{\sqrt{3}}{4}i \end{eqnarray*}$

13.09.2011, 12:13

biba2

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} frac{1}{4} +\frac{i\sqrt{3} }{4} \end{eqnarray*}$

13.09.2011, 12:14

biba2

Auf diesen Beitrag antworten »

Ignorier meine Beiträge, es sollte das werden, was du geschrieben hast Big Laugh

Big Laugh

.

13.09.2011, 12:15

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

1/4+Wurzel 3*i/4

Das ist korrekt, wie gesagt kann man Real und Imaginärteil nun einfach ablesen.

Latex kannst du noch ein bisschen üben hier am Board Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.09.2011, 12:17

biba2

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}+ \frac{\sqrt{3}}{4}i \end{eqnarray*}$

Was davon wäre jetzt Real- bzw. Imaginärteil, das erste das Reelle und das Zweite das Imaginäre? Also splitte ich das Gesamte einfach auf?

13.09.2011, 12:22

biba2

Auf diesen Beitrag antworten »

Und bei der anderen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ , wenn man da mit i erweitert, käme man ja im Endeffekt auf $\begin{eqnarray*} \frac{i}{-1} \end{eqnarray*}$ , da i^2 ja -1 ist.
Und was wäre da dann der Real und Imaginärteil?
Das kann man ja zu 1-i umformen oder?

13.09.2011, 12:30

biba2

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, ich bin ja verplant, da schreibe ich am Anfang noch ganz toll, dass ich ja weiß, dass bei z=a+bi a der Real- und b der Imaginärteil ist und nun stehts genau in der Form vor mir und ich erkenns nicht.

Also wäre bei z=1-i 1 der Realteil und i der Imaginärteil und bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}+ \frac{\sqrt{3}}{4}i \end{eqnarray*}$ genauso das 1. der Realteil und das zweite der Imaginärteil oder?

13.09.2011, 12:41

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Gaanz langsam, erst einmal die erste Aufgabe zu Ende machen.

Es ist richtig, von $\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}i}{4} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} Re(z)=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Im(z)=\frac{\sqrt{3}}{4} \end{eqnarray*}$ .

Nun zu der zweiten Zahl, deine erste Umformung ist richtig:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{i}=-i \end{eqnarray*}$ .

Wie du von da auf die Zahl 1-i kommst ist mir Schleierhaft, schreibe sie lieber einmal als 0-i um den Real und Imaginärteil zu bestimmen.

13.09.2011, 12:59

biba2

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach klar, hast natürlich Recht! Also ist 0 der Realteil und i der Imaginärteil. Super! Echt! Vielen Dank! smile

smile

13.09.2011, 13:09

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Imaginärteil ist -1....

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »