minimale Lipschitzkonstante bestimmen

13.09.2011, 12:58	fnsr21	Auf diesen Beitrag antworten »
minimale Lipschitzkonstante bestimmen Hallo! Ich habe eine erste Übungsaufgabe zur Lipschitzstetigkeit. Wir kennen schon den Mittelwersatz und haben auch schon bewiesen, dass eine Funktion L-stetig ist, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist. Nun soll für die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 \end{eqnarray}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray} (1,4) \end{eqnarray}$ die minimale Lipschitzkonstante bestimmt werden. Meine erste Idee, MWS und Minimalstelle der Ableitung bestimmen: $\begin{eqnarray} \vert f(x) - f(y)\vert \leq f'(\xi)\vert x-y\vert \end{eqnarray}$ gibt $\begin{eqnarray} \vert x^2 - y^2\vert \leq 2\xi \vert x-y\vert \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \xi \in (1,4) \end{eqnarray}$ , gibt also $\begin{eqnarray} f'(1) = 2\cdot 1 = 2 \end{eqnarray}$ . Nun war mein anderer Gedankengang: Es gilt doch $\begin{eqnarray} \vert x^2 - y^2 \vert = \vert x+y\vert \vert x-y\vert \leq L\vert x-y\vert \end{eqnarray}$ , also kann ich dann setzen $\begin{eqnarray} L := \min_{x,y \in(1,4)} \vert x+y\vert = 2 \min(\vert 4\vert, \vert 1\vert) = 2? \end{eqnarray}$ Mfg!
13.09.2011, 13:12	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf $\begin{eqnarray} f'(1) \end{eqnarray}$ ? Dies ist als Lipschitzkonstante nicht groß genug wie du leicht zeigen kannst. Die Überlegungen darunter scheinen auch nicht sehr sinnvoll oder verpass ich etwas? Die Idee mit der Ableitung ist aber gut, nur die gewählte Stelle ergibt keinen Sinn.
13.09.2011, 13:27	fnsr21	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry, die zweite Zeile ist natürlich falsch abgeschrieben. Korrekt sollte das heißen $\begin{eqnarray} L := \max_{x,y \in(1,4)} \vert x+y\vert = 2 \max(\vert 4\vert, \vert 1\vert) = 8 \end{eqnarray}$ genau daran habe ich mich auch gestoßen (steht auch so auf meinem Schmierblatt...). So haben wir ja nun eine Lipschitzkonstante gefunden. Aber ist das auch die minimale? Mich irritierte das Wort minimal in der Rechnung. Ich wollte einfach das Minimum der Funktion $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray} (1,4) \end{eqnarray}$ bestimmen. Ich muss ja aber natürlich die "maximale Ableitung" auf dem Intervall bestimmen...
13.09.2011, 14:38	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm mal an, dass es eine Zah kleiner alsl $\begin{eqnarray} f'(4) \end{eqnarray}$ gibt, die als Lipschitzkonstante dient. Dies kannst du zum Widerspruch führen. Betrachte hierzu den oberen Rand des Intervalls.

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