Themumformung nach partielle Ableitung um Steigung einer Funktion zu berechnen.

13.09.2011, 14:35	michaelf	Auf diesen Beitrag antworten »
Themumformung nach partielle Ableitung um Steigung einer Funktion zu berechnen. Hallo Leute! Ich versuche die Funktion $\begin{eqnarray} x_{1}^{1/3} x_{2}^{1/3} \end{eqnarray}$ abzleiten, um die Steigung der Funktion rauszukrigen. Ich komme da leider nur auf Therme mit den ich nicht umgehen kann. Es geht um eine Produktionsfunktion. Z.B MT1: (Technische Grenzrate der Substitution) : $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} x_{1}^{-1/3} * x_{2}^{1/3} \end{eqnarray}$ MT2: (Technische Rate der Substitution 2): $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} x_{1}^{1/3} * x_{2}^{-1/3} \end{eqnarray}$ Um die Steigung zu haben teilt man jetzt mt1 durch MT2: $\begin{eqnarray} \frac{ \frac{1}{3} x_{1}^{-1/3} * x_{2}^{1/3} }{ \frac{1}{3} x_{1}^{1/3} * x_{2}^{-1/3} } \end{eqnarray*}$ So mein Problem ist einfach das ich mit diesen Therm nicht umgehen kann. Also was kann man kürzen? Könntet ihr mir da helfen. Ich habe schon nach den Regeln geguckt aber wenn ich z.B die gebrochenen Exponenten in Wurzeln umschreibe oder die negativen gebrochenen Unter den Bruchstrich etc komm ich auch nicht weiter. Ich habe dann nur Doppelbrüche und kann damit einfach nicht umgehen. Wir würdet ihr das Problem angehen? Mach ich es zu kompliziert? Vielen Dank
13.09.2011, 14:48	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgesehen davon, dass mir etwas schleierhaft ist was du da rechnest und von welcher "Steigung" du redest: Bekanntermaßen gilt ja $\begin{eqnarray} a^\alpha a^\beta = a^{\alpha + \beta} \end{eqnarray}$ Schreibe nun $\begin{eqnarray} \\frac{\frac{1}{3}x_1^{-1/3}x_2^{1/3}}{\frac{1}{3}x_1^{1/3}x_2^{-1/3}} = \frac{1}{3}x_1^{-1/3}x_2^{1/3} (\frac{1}{3}x_1^{1/3}x_2^{-1/3})^{-1} \end{eqnarray}$
13.09.2011, 14:53	michaelf	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm was du sagtest was gilt, gilt hie ja nicht, weil es verschiedene X sind. X1 und X2 .... Ich möchte die Ableitung der Funktion haben einmal nach X1 das ist MT1 und einmal nach X2 das ist MT2. Wenn ich MT1 durch MT2 teile, habe ich die Steigung der Funktion.
13.09.2011, 15:04	michaelf	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm ich sag lieber noch einmal worum es geht. Also man hat die Produktionsfunktion f(x1,x2)= $\begin{eqnarray} x_{1}^{1/3} x_{2}^{1/3} \end{eqnarray}$ Diese sagt wie viel man mit wie viel Input herstellen kann. X1 ist zum Beispiel Arbeit und X2 Metall. Angenommen man hat 27 Arbeitseinheiten und 27 Einheiten Metall, dann kann man 9 Einheiten des Gutes herstellen. Ich möchte jetzt die Ableitung haben, um in jeden Punkt die Steigung dieser Kurve zu haben weil ich Später berechnen möchte wie man eine bestimmte Menge mit den minimalsten Kosten herstellen kann. Die Kostenfunktion ist ja wenn w1 und w2 die Kosten pro Inputeinheit sind. x1w1+x2*w2=Kosten davon ist die Steigung - w1/w2 ich suche also den Punkt wo die Steigung der oben genannten Funktion gleich -w1/w2 ist um die Menge an Inputfaktoren zu berechnen, die die niedrigsten Kosten verursachen. Ich hoffe mein Problem wird jetzt etwas klarer.
13.09.2011, 15:04	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit der Steigung ist in diesem Fall hier nicht so ganz richtig formuliert. Aber du weißt ja anscheinend was du zu rechnen hast und es geht dir nur um den Term. Was ich da geschrieben habe gilt immer (im Reellen). Natürlich kannst du nicht verschiedene Basen zusammenfassen. Das habe ich aber auch gar nicht vorgeschlagen. Den Term kannst du nun so wie ich ihn aufgeschrieben habe einfach weiter umformen. Bedenke: $\begin{eqnarray} (ab)^x = a^xb^x \end{eqnarray}$
13.09.2011, 15:20	michaelf	Auf diesen Beitrag antworten »
Versteh ich im Moment noch nicht, aber ich probier mal weiter vielleicht klappt es ja nachher. Danke
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