Vektoralgebra Schnittgerade von 2 Ebenen

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Dofat Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoralgebra Schnittgerade von 2 Ebenen
Hallo zusammen,

Ich habe 2 Ebenen in der 3-Punkte-Form gegeben ( r=r1+lambda a + my b).
gesucht ist die Schnittgerade.
Habe die beiden Ebenengleichungen gleichgesetzt und ein linieares Gleichungssystem mit 4 unbekannten erhalten.
Das LGS liefert dann die 4 Unbekannten mit jeweils einem Parameter.
Ich habe schon den Tipp bekommen, dass ich nicht weit von der Schnittgeraden entfernt bin.
Ich soll einfach die 4 Lösungen des LGS in vektorieller Form aufschreiben.
Hier liegt mein Problem. Ich habe überhaupt keine Idee, wie ich von den 4 Lösungen des LGS auf die Gleichung der Schnittgerade in der Form
r=Ortsvektor + Parameter*Richtungsvektor
komme, bzw. wie ich die 4 ergebnisse in vektorieller Form schreibe.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sobald du eine Skalargleichung hast, die nur noch die zwei Parameter ein- und derselben Ebene enthält, bist du fertig. Du kannst dann nach dem einen Parameter auflösen und das Ergebnis in die entsprechende Ebenengleichung einsetzen. Auf den Sonderfall Parallelität der Ebenen bin ich nicht eingegangen.
Dofat Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für deine Antwort!



Gleichsetzten:






habe ich dich richtig verstanden, dass ich jetzt von diesen 3 Gleichungen auf eine Gleichung kommen muss, in der nur r und s bzw. t und u vorkommen?

Dann habe ich noch einmal eine Frage zu meinem Weg:
Ich habe das LGS gelöst. Da es entartet, erhalte ich 4 Lösungen für r,s,t,u mit einem neuem Parameter w :






Wäre es auch richtig, wenn ich r und s jetzt in E1 oder t und u in E2 einsetzte?
Und müsste bei beiden Gleichungen das gleiche Ergebnis heraus kommen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip brauchst du keinen neuen Parameter einführen, du kannst z.B. alles in r ausdrücken, dann ist der Parameter der Geradengleichung eben r.
______________

Deine Ebenengleichungen sind falsch geschrieben, auch wenn du das Richtige meinst:
Erstens muss links der Vektor X stehen, nicht r, welches sich ausserdem mit dem Parameter schlägt, und zweitens fehlt zwischen den Vielfachen der Richtungsvektoren das + Zeichen.
_______________

Letztendlich stimmt auch t nicht, es ist nämlich 13/15. Entartet ist das System deswegen aber nicht, es gibt ja eine eindeutige Lösung.
_______________

Das Ergebnis auf beiden Wegen muss zahlenmäßig nicht unbedingt gleich sein, denn es gibt zu einer bestimmten Geraden unendlich viele verschiedene Parametergleichungen (--> mit verschiedenen auf der Geraden liegenden Stützpunkten, aber dem gleichen Richtungsvektor).

Bei der Rechnung würde ich dir raten, nicht explizit auf 2 bestimmte Parameter (von E1 oder E2) hinzusteuern, sondern das System von 3 Gleichungen mit 4 Variablen einfach 'straight forward' durch Elimination mit minimalem Aufwand so aufzulösen, bis nur noch ein Parameter übrig bleibt, welcher dann auch gleich als jener der Geradengleichung fungiert. In deinem Beispiel bietet sich r an.

mY+


Hinweis: Der Richtungsvektor der Schnittgeraden lautet (1; 1; 1).

mY+
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