Tangente berechnen

Neue Frage »

13.09.2011, 16:17	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangente berechnen Meine Frage: Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $\begin{eqnarray} - \frac{1}{6} x^{3}+ x^{2} \end{eqnarray}$ Welche Ursprungsgerade (m ungleich 0) ist Tangente an K? Bestimmen Sie die Gleichung. 4. K ist das Schaubild der Funktion f mit f(x)=x^3-2x+3,5 a) Bestimmen Sie die berührstellenvon K und g b) Geben Sie jeweils einen Punkt an durch den es nur eine Tangente, zwei bzw. drei Tangenten an K gibt Meine Ideen: zu 3. also ich habe die berührstellen bestimmt und kam auf die punkte (0/0) und (3/4,5) jetzt hab ich irgendwie das problem das ich verunsichert bin weil in der aufgabe steht m ungleich 0 aber ich erhalte logischerweise die lösung das im punkt (0/0) die steigung 0 ist und b auch was mich sehr irritiert zu 4 also a hat mir keine probleme gemacht da habe ich 3 berührstellen raus bei -1, 1 und -0,5 aber zu b habe ich keinen ansatzt ich weiß nicht wie ich da bestimmen soll wo die punkte mit den jeweisl 1 2 oder 3tangenten sein solln darum bitte ich euch da um hilfe
13.09.2011, 16:57	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 3. Wie hast Du die Berührstellen denn ausgerechnet? Zu 4. Was ist g?
13.09.2011, 17:07	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe dies mit der punktsteigungsform y=f'(u)*(x-u)+f(u) berechnet und mithilfe des punktes A(0/0) da in der aufgabe steht das es eine ursprungsgrade ist und diese somit durch den punkt (0/0) läuft oder nicht?? dann habe ich noch den punkt B(B(u)/f(u)) genommen damit ich die gleichung bestimmen kann dann habe ich es in die punktsteigungsform eingesetzt und konnte nach dem auflösen u^2 ausklammern und die 3te lösung einfach durch äquivaltenteumforumung bestimmen dann erhielt ich für u1,2=0 und für u3=3 dann habe ich die beiden berührstellen in f(x) und f'(x) eingesetzt und b errechnet zu 4 g ist eine gerade die die kurve im punkt (-1/4,5) schneidet bei uns ist das auf ner grafik abgebildet und dann habe ich hier im prinziep das selbe gemacht wie in 3 nur eben mit dem anderem punkt und jetzt komme ich bei b) überhaupt nicht weiter weil ich nicht weiß wie ich da ran gehen soll oder wie ich einen punkt finden soll durch rechnung der 3 2 oder 1 tangente hat
13.09.2011, 17:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, ich hätte einfach nur ausgenutzt, dass y=mx Tangente sein soll, also f'(x)=m, sowie f(x)=mx und somit $\begin{eqnarray} xf'(x)=f(x) \end{eqnarray}$ . Das führt aber auf dieselben Lösungen. Dein Problem ist eigentlich gar keins, denn wenn die Steigung nicht Null sein soll, welche Lösung ist dann die richtige? (Ähnliche Überlegung wie die Frage welche positive Lösung x²=4 besitzt) Zu 4. Eine Gerade ist niemals durch einen Punkt bestimmt, da fehlt noch eine zweite Information. Falls Du die Steigung kennst, würde ich diese einfach mit der Ableitung gleichsetzen und die dadurch entstehende quadratische Gleichung auflösen.
13.09.2011, 17:32	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok also deine antwort zu 3 habe ich verstanden im nachhinein logisch aber zu 4 versteh ich es nicht ganz in aufgabe 3 hatte ich ja auch nur 1punkt und konnt durch diese B(u)/f(u) also mit der unbekannten u ja auch weiter rechnen ich habe einfach dasselbe gemacht wie in aufgabe 3 und kam auch zu meiner meinung richtigen ergebnissen ich könnte natürlich noch einen 2ten punkt von der geraden ablesen doch dies wäre eben sehr ungenau da es sich um eine grafik im buch handelt deshalb wäre diese methode ja auch höchstwahrscheinlich falsch oder nicht die eleganteste es geht ja nicht um die gerade sondern umd die berührstellen die diese mit der kurve hat und da hab ich als 2te berührstelle den punkt (0,5/2,625) raus und dies kann mit abgleichung der grafik durchaus sein aber a) konnte ich ja auch mein wahres problem liegt bei b) da ich hier überhaupt keinen ansatz habe oder sonst was ich hoffe ich konnte dir jetzt helfen mir zu helfen und danke nochmal das du mir hilfst
13.09.2011, 17:48	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir bitte jemand nen ansatz zu 4. b) geben?
Anzeige

13.09.2011, 17:52	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe jetzt einmal davon aus, dass g eine Tangente sein soll, die zusätzlich durch den Punkt (-1/4,5) läuft. (Wurde bisher leider noch nicht klargestellt). Dann könntest Du beispielsweise ähnlich verfahren, wie bei der ersten. Sei $\begin{eqnarray} (x_0/y_0) \end{eqnarray}$ der Punkt, durch den die Tangente laufen soll, dann gilt $\begin{eqnarray} m(x-x_0)+y_0=f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m=f'(x) \end{eqnarray}$ Durch Einsetzen folgt somit $\begin{eqnarray} (3x²-2)(x-x_0)+y_0=x^3-2x+3,5 \end{eqnarray}$ Ausmultipliziert und umgeformt ergibt sich ein Nullstellenproblem für eine Funktion dritten Grades, welches durch Extremwertbestimmung lösbar ist. Falls jemand einen schnelleren Weg hat, immer her damit
13.09.2011, 17:57	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
also es sieht im Buch so aus als wäre g die tangente von (0,5/2,625) die wie du schon sagtest zu sätzlich die kurve bei (-1/4,5) schneidet ob es tatsächlich die tangente ist kann ich nicht sagen das steht dort nicht aber ich denke man kann davon ausgehen ich weiß nur das was ich auch im 1. post geschrieben habe es ist die orginal aufgabe ausm buch könntest du dein verfahren näher erläutern soll ich mir da punkte von der kurve aussuchen einsetzen und kann dann erkennen wie viele tangenten es für diesen punkt gibt oder ist dies ein anderer lösungsansatz um die berührstellen herrauszufinden? aber wie gesagt 4 a) die berührstellen zu finden ist nicht das problem gewesen es sei den du hast nen fehler bemerkt weil du es nachgerechnet hast oder direkt in meiner vorgehensweise das wirkliche problem ist b)
13.09.2011, 18:26	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
niemand der nen ansatzt für mich hat?
13.09.2011, 18:28	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich rede doch von b) Die Obige Gleichung formst Du so um, dass Du eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray} ax^3+bx^2+c =0 \end{eqnarray}$ erhältst. Dann machst Du Dir Gedanken, wann sie eine, zwei oder drei Lösungen besitzt.
13.09.2011, 18:31	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhh sag das doch gleich aber soll ich da einfach irgendwelche wahlosen punkte eintragen und ausrechnen oder kann man das ganze noch etwas definierter lösen ich brauch ja einen punkt mit einer tangente einen mit 2 und einen mit 3 wenn du da auch nen ansatzt zu hast dann wäre es echt nett wenn du ihn mir nennst denn sonst probier ich mich hier dumm und duselig hab ich das gefühl
13.09.2011, 22:01	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (3x²-2)(x-x_0)+y_0=x^3-2x+3,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3x³-2x-3x²x_0+2x_0+y_0=x³-2x+3,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x³-3x²x_0+2x_0+y_0-3,5=0 \end{eqnarray}$ Die Anzahl der Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray} g(x)=2x³-3x²x_0+2x_0+y_0-3,5 \end{eqnarray}$ hängt von der Lage der Extrempunkte ab.
13.09.2011, 22:09	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
aber ein berührpunkt muss ja nicht zwangsläufig auf einem extrempunkt liegen oder irre ich mich da jetzt
13.09.2011, 22:12	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht auf einem Extrempunkt der Ausgangskurve, aber wir haben hier ja eine ganz andere vorliegen. Die Nullstellen dieser Kurve sind die Berührstellen an den Ausgangsgraphen.
13.09.2011, 22:14	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok also ich setze dann für x0 und y0 irgendeinen punkt ein also für x den x wert z.b 3 und für y f(3) in diesem fall und löse dann die gleichung und jetzt versteh ich das auch mit den nullstellen war gerade aufm schlauch aber ich versteh es noch nicht ganz mit x0 und y0 aber ich denke du bringst mich gerade auf den richtigen weg doch wie weiß ich = was die funktion sein muss damit sie 1 2 oder 3 berührstellen hat wenn es 1 2 oder 3 lösungen gibt nur wie weiß nicht was ich einsetzen muss damit die gleichung auch so aufgeht bin ich gerade zu dumm um das nachzuvollziehn oder wie ohh man
13.09.2011, 23:00	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (x_0/y_0) \end{eqnarray}$ ist unser gesuchter Punkt durch den die Tangente läuft, Du kannst nicht irgendetwas einsetzen, es sei denn Du willst überprüfen, ob es zu diesem Punkt eine, zwei oder drei Tangenten gibt. Bzgl. der zweiten Frage: Wie sieht denn der übliche Verlauf einer Funktion dritten Grades aus? Er ist S-Förmig und hat einen Hoch- und einen Tiefpunkt. Wir suchen die Nullstellen dieser Funktion. Wie muss die Funktion also aussehen, damit es eine Nullstelle gibt, zwei Nullstellen oder drei Nullstellen?
13.09.2011, 23:04	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
also die funktion wie sie jetzt ist hat nur eine 0stelle damit es zwei wären müsste sie an der y-achse weiter nachunten verschoben sein und damit es 3werden noch weiter nach unten verschieben meinst du das oder meinst du jetzt die nullstellen die die funktion beim gleichsetzen mit der ersten ableitung hat den das kann ich jetzt nicht genau sagen was die vorraussetzung dort für 1 2oder 3nullstellen oder berührstellen sind
13.09.2011, 23:08	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht momentan nur um die von mir mit g(x) bezeichnete Funktion. Je nach Wahl der Parameter kann sie beispielsweise so aussehen:
13.09.2011, 23:10	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja dann muss man wie gesagt den y-achsenabschnitt verringern wie du es ja in der funktion getan hast von 2 auf 0,5 damit die kurve auch die x-achse oft genug schneidet
13.09.2011, 23:12	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig und das musst Du nun durch x_0 und y_0 ausdrücken. Solange es Hoch-und Tiefpunkt auf unterschiedlichen Seiten der x-Achse liegen, gibt es drei Lösungen, ist eine der beiden auf der x-Achse, sind es zwei Lösungen, ansonsten nur eine.
13.09.2011, 23:15	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich dann einfach y0 (kann ich doch auch als f(x) schreiben oder?) mit einer beliebigen zahl ersetzen die kleiner als 2 ist mit 0,5 beispielsweise wie in deinem grafik beispiel hätte somit 3schnittpunkte und könnte die gleichung nach x auflösen und auch somit mein f(x) ausrechnen wodurch ich den kompletten punkt hätte für 3schnittpunkte mit der x-achse ist das so richtig ?? da stellt sich mir aber noch eine andere frage darf ich eine gleichung einfach zu meinen gunsten abändern immerhin handelt es sich hier ja nicht um eine äquivalenteumformung
13.09.2011, 23:18	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau deshalb darfst Du nicht einfach etwas einsetzen Bestimme doch einfach mal die Extremstellen der Funktion g, das ist einfacher, als es zunächst aussieht.
13.09.2011, 23:20	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja einfach erste ableitung =0setzen so wie in ner normalen kurvendiskussion oder ich habe x werte von 0 und 0,67 (2drittel) raus und die punkte der extremwerte liegeh bei E1(0/3,5) E2 (0,67/2,46) mir ist gerade bei näherem anschaun deiner formel aufgefallen das sie eigentlich der punktsteigungsform ähnelt nur eben mit x0 und y0 anstatt u und f(u) wäre es mir möglich gewesen die aufgaben mithilfe dieser einfach zu lösen habe es nur nicht erkannt ? weil wenn ja müsste ich es alleine schaffen aber ich denke dies geht nicht und ich wäre dir auch dann noch dankbar wenn du mir trotzdem weiter helfen würdest an der stelle erstmal ein großes dankeschön an dich das du soviel gedult mit mir hast
13.09.2011, 23:31	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du konkrete Werte raus hast, hast Du entweder die falsche Funktion betrachtet oder Dich vertan. $\begin{eqnarray} g'(x)=6x²-6xx_0=6x(x-x_0) \end{eqnarray}$ Folglich liegen die Extremstellen bei x=0 und $\begin{eqnarray} x=x_0 \end{eqnarray}$
13.09.2011, 23:35	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
sieht so aus als hätte ich die falsche funktion genommen ich habe die funktion f(x)=x^3-2x+3,5 genommen und dann eben die erste ableitung wie kommst du auf deine funktion? könntest du das nochmal näher erleutern danke nun kann ich da ja 0stellen bei x=0 liegen 0 in g(x) einsetzen und hätte somit meinen ersten punkt für einen punkt mit 2tangenten
13.09.2011, 23:40	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehm...das steht doch oben in meinem dritten Posting und wurde in den nachfolgenden weiter erläutert. Ich habe die Gleichung $\begin{eqnarray} m(x-x_0)+y_0 \end{eqnarray}$ genommen (Gerade durch den Punkt $\begin{eqnarray} (x_0/y_0) \end{eqnarray}$ ) und angenommen es sei eine Tangente. Das führt nach obigen Umformungen auf das Polynom g(x).
13.09.2011, 23:41	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich hatte mir gerade deine posts nochmal genauer angesehn und bin dann selber wieder drauf gekommen sry
13.09.2011, 23:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann schlage ich vor, Du lässt das alles ein wenig sacken und ich melde mich morgen wieder, falls noch Fragen sind. Ich müsste nämlich langsam ins Bett
13.09.2011, 23:47	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube jetzt ist der groschen gerade gefallen ich denke ich habe es so einigermaßen dank dir jetzt begriffen wo du mich hinführen wolltest danke dafür du kannst von mir aus ruhig schlafen gehen ich werde meine ergebnisse hier posten und ich hoffe es wird richtig aber kannst du mir vorher noch 1ne frage beantworten das was du gerade ausgerechnet hast das ist der punkt der 2tangenten hat für einen punkt mit 1ner tangente reicht die ausgangsfunktion (wegen nur 1ner schnittstelle mit der x-achse) und für einen punkt mit 3schnitt stellen muss der tiefpunkt unterhalb der x-achse liegen wenn dies richtig ist dann brauchst du es nur bestätigen wenn nicht dann wäre es echt verdammt nett wenn du mir möglicherweise und ich hoffe ich verlange nicht zuviel die ausgangsgleichungen vorgeben könntest also ich nenne die x0 und y0 jetzt in u und f(u) um eigentlich meint es ja dasselbe und so haben wir es in der schule gemacht das geht doch oder
14.09.2011, 00:19	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ne ich habe es doch noch nicht gerafft ich weiß nicht wie ich jetzt von dem x wert auf den dazugehörigen y wert schließen soll es heißt ja x=0 und x=x0 daraus müsste sich eigentlich logisch erschließen das x0=0 in meinem fall u=0 setze ich nun 0 in g(x) ein ist der punkt dort (0/0) und diesen gibt es auf der kurve garnicht es ist zum verzweifeln also musst du mir das morgen nochmal erklären wenn ich fit bin
14.09.2011, 11:54	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Punkt $\begin{eqnarray} (x_0/y_0) \end{eqnarray}$ ist irgendein Punkt im Raum, durch den die Tangente laufen soll. Wenn Du den als $\begin{eqnarray} (u/f(u)) \end{eqnarray}$ schreibst,setzt Du automatisch voraus, dass wir einen Punkt des Graphen nehmen. Diese Einschränkung kann ich in der Aufgabe aber nicht erkennen. Um die Sache vielleicht ein wenig voranzutreiben (Es ist ja nicht mehr weit bis zum Ziel): Wie oben berechnet sind die Extrempunkte bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=x_0 \end{eqnarray}$ . Die zugehörigen zweiten Ableitungen lautet $\begin{eqnarray} g''(x)=12x-6x_0 \end{eqnarray}$ und somit ist $\begin{eqnarray} g''(0)=-6x_0~und~g''(x_0)=6x_0 \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} x_0\neq 0 \end{eqnarray}$ haben wir also genau ein Minimum und ein Maximum mit $\begin{eqnarray} g(0)=2x_0+y_0-3,5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x_0)=-x_0^3+2x_0+y_0-3,5 \end{eqnarray}$ . Ist eines dieser beiden Null, dann haben wir zwei Nullstellen von g und somit auch zwei Berührpunkte $\begin{eqnarray} (x_0/y_0) \end{eqnarray}$ . Ist das Minimum oberhalb der x-Achse oder das Maximum unterhalb der x-Achse, dann haben wir nur eine Berührstelle, in allen anderen Fällen drei. EDIT: Nur mal kurz eingeworfen, dass das alles für Schulmathenmatik aber etwas sehr komplizierte Rechnungen sind. Entweder gibt es einen wesentlich einfacheren Weg, oder Euer Lehrer fordert Euch mit der Aufgabe stark heraus.
14.09.2011, 12:00	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man...ich sehe gerade, es geht ja nur darum einen Punkt anzugeben. Du brauchst also nur eine einzige Lösung der drei Gleichungstypen bestimmen. Wenn wir meinen Weg zu Ende denken, würden wir es für alle Punkte durchrechnen.
14.09.2011, 16:42	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
also wir haben das heute in der schule besprochen und da stellte sich herraus das wir es einfach zeichnerisch lösen sollten WOHER SOLL ICH DAS WISSEN aber ich fände es trotzdem cool wenn du mir den rest deiner lösung präsentieren könntest jetzt würde mich das schon reizen zu wissen wie man sowas auch berechnet
14.09.2011, 18:12	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Na oben steht ja jetzt schon alles wesentliche. $\begin{eqnarray} g(0)=0 \Leftrightarrow y_0=3,5-2x_0 \end{eqnarray}$ Wählst Du einen Startpunkt auf dieser Geraden (z.B. $\begin{eqnarray} (x_0/y_0)=(1/1,5) \end{eqnarray}$ ), so erhältst Du zwei Berührpunkte mit der Kurve. Entsprechend lässt sich die zweite Bedingung umformen. $\begin{eqnarray} y_0=x_0^3-2x_0+3,5 \end{eqnarray}$ Auch alle Startpunkte auf dieser Kurve führen zu zwei Tangenten.
14.09.2011, 19:26	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
aso kannst du mir möglicherweise den namen des verfahrens sagen welches du dort anwendest falls es einen hat oder eine schritt für schritt anleitung schreiben so 1. das und das 2. das und das wäre echt mega nett dann könnte ich das mir mal genauer angucken und möglicherweise verstehn und sollte ich das nächstemal eine solche aufgabe bekommen mit fachwissen glänzen ich bin in der 12klasse wirtschaftabitur mathelk weißt du wann man dieses verfahren oder wissen lernt??
14.09.2011, 20:09	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab da noch etwas im Internet gefunden, dass Dir vielleicht mehr hilft. Ein nettes Video mit Erklärungen.
14.09.2011, 20:53	Guedoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ist nett gemeint aber mit tangenten berechnung habe ich keinerlei probleme das problem was ich mit der aufgabe hatte war ja das ich nicht wusste wie ich die punkte bestimmen sollte was ja auch nicht gefordert war also eher ein leichtes verständnis problem aber tangenten und normalen berechnen beherrsche ich nahezu perfekt ich stand gestern aufm schlauch war übermüdet und so und das was du mir erklärt hast konnte ich mit meinem bisherigem wissen ja nicht wirklich soo gut nachvollziehen auch wenn es sehr nett von dir war und ich dir auch echt dankbar bin aber im nachhinein hätte ich uns beiden viel mühe ersparen können

Neue Frage »

Antworten »

Tangente berechnen

Verwandte Themen