Wurzelterm umformen

13.09.2011, 20:30

Christian_P

Wurzelterm umformen

Der Term

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{k^3}-3} \end{eqnarray*}$

soll auf die Form

$\begin{eqnarray*} p+q\sqrt{k} \end{eqnarray*}$

gebracht werden

scheint unmöglich zu sein,
seht ihr einen Weg?

13.09.2011, 21:17

weisbrot

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RE: Wurzelterm umformen
ich denke es ist klar, dass das nicht geht, da der exponent von k im nenner größer als im zahler ist. für einen beweis kannst du annehmen, dass es eine solche darstellung gibt, und durch koeffizientenvergleich zu einem widerspruch kommen.
lg

13.09.2011, 21:22

Christian_P

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danke weisbrot

Wie würde ich diese Annahme formulieren?

ich hatte vorhin schonmal so etwas im sinn

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{k^3}-3}=p+q\sqrt{k} \end{eqnarray*}$

, aber das schien mir seltsam.
Wie sieht eine solche Annahme aus?

13.09.2011, 21:22

Equester

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Es steht nirgends, dass q oder p k nicht enthalten dürfen Big Laugh

Aber sonst stimme ich zu Augenzwinkern

13.09.2011, 21:26

Christian_P

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Zitat:

Original von Equester
Es steht nirgends, dass q oder p k nicht enthalten dürfen Big Laugh

k darf enthalten sein.

13.09.2011, 21:28

weisbrot

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@equester: wusste ganz genau dass sowas kommt Big Laugh

, aber bin mal davon ausgegangen, dass es feste reelle zahlen sind

@christian: ja genau so sehe das aus. genau das würdest du ja auch machen, wenn du p und q bestimmen wollen würdest

edit:

Zitat:

k darf enthalten sein.

-das verändert alles, aber macht die lösung um so einfacher

13.09.2011, 21:33

Christian_P

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Zitat:

Original von weisbrot
@christian: ja genau so sehe das aus. genau das würdest du ja auch machen, wenn du p und q bestimmen wollen würdest

und unter welchen Bedingungen ist der Beweis erbracht, das es nicht in dieser Form darstellbar ist?
Das werden glaube ich ziemlich lange, große Koeffizienten.

13.09.2011, 21:36

Christian_P

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Zitat:

Original von weisbrot
edit:

Zitat:

k darf enthalten sein.

-das verändert alles, aber macht die lösung um so einfacher

Ist es jetzt doch möglich?

13.09.2011, 21:42

weisbrot

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also du hast ja zuletzt geschrieben, dass p und q von k abhängen dürfen, dann ist die lösung denkbar einfach:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{k^3}-3}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{k^3}-3}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k^3}-3}\sqrt{k} \end{eqnarray*}$

sollen p und q fest sein, so nimmst du an:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{k^3}-3}=p+q\sqrt{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sqrt{2}\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{2}}=(p+q\sqrt{k})(\sqrt{k^3}-3)=p\sqrt{k^{3}}-3p+qk^{2}-3q\sqrt{k} \end{eqnarray*}$

einerseits muss der koeffizient von k^2 0 sein, also q=0, andererseits muss -3q=wurzel(2) ->widerspruch

13.09.2011, 22:02

Christian_P

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ich denke, die erste Lösung ist zu einfach,
k darf enthalten sein, aber nicht mit gebrochenem Exponenten.
aber dann ist die Lösung nicht möglich.

Es geht um Körpererweiterungen

$\begin{eqnarray*} K' \end{eqnarray*}$ mit der Form $\begin{eqnarray*} p+q\sqrt{k} \end{eqnarray*}$ ist Erweiterungskörper

von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} k=a+b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

den Widerspruch muss ich mir nochmal genauer in Ruhe angucken.

dankeschön Wink

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