Flächeninhalt herleiten - Einheitskreis

25.12.2006, 10:53	Sila85	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt herleiten - Einheitskreis Gegeben sei $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ und ein Punkt $\begin{eqnarray} y \geq 0 \end{eqnarray}$ , der x² + y² = 1 erfüllt. Die Fläche A sei die Fläche zwischen den Strahlen {(tx, ty) \| $\begin{eqnarray} t \geq 0 \end{eqnarray}$ } und {(tx, -ty) \| $\begin{eqnarray} t \geq 0 \end{eqnarray}$ } und dem Kreis vom Radius 1 um den Nullpunkt. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt von A gegeben ist durch $\begin{eqnarray} F = xy + 2 \cdot \int_{x}^{1}~\sqrt{1-t²}~dt \end{eqnarray}$ Rechnen Sie F = arccos x nach. Also ich habe hier folgendes gedacht: Ich hab hier ein Einheitskreis, dessen Flächenintegral, die auch gegeben ist, hergeleitet werden muss. Nun habe ich 4 Fragen: 1.) woher kommen die xy in der Flächeninhaltsformel? 2.) wieso beginnt das integral von der Wurzelfunktion hier bei x? wenn ich sie mir graphisch ansehe, dann erkenne ich ein halbkreis im bereich (-1,1). Dann kann ich doch sagen das Integral der Funktion von -1 bis 1 ... und dann mal 2. 3.) wieso steht in der Funktion anstelle von x hier t? hat das was mit den Strahlen zutun? verstehe nämlich nicht ganz was das in den geschweiften Klammern bedeuten soll. 4.) und wenn ich nun F berechnen soll, muss ich arccos x mit der oberen Formel gleichsetzen? oder wieso wird mir das gegeben? Vielen Dank im Voraus! Gruß Sila
25.12.2006, 11:55	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast Du dir schonmal die Strahlen genauer angeschaut? Den Strahl 1 zum Beispiel beschreibt die Menge: $\begin{eqnarray} \{(tx,ty) \\| t \geq 0, x^2 + y^2 = 1\} \end{eqnarray}$ Das ist eine Gerade die durch die Punkte (0,0),(x,y) geht. Analog für den Strahl zwei. Dieses Schaubild hier verdeutlicht es: Vielleicht reicht Dir das jetzt ja schon edit: Es sollte natürlich klar sein das die Geraden abhängig von (x,y) sind. Und wenn (x,y) = (-1,0) dann sollte der Inhalt des ganzen Kreises herauskommen!
07.01.2007, 20:54	donvito	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, mir reicht das leider noch nicht, bin ein chronischer Mathenixblicker und war bei der entscheidenden Vorlesung vor den Ferien krank... Naja das mit dem Halbkreis und den Strahlen ist soweit klar. Doch wie zeige ich jetzt, dass $\begin{eqnarray} F= xy + 2 \int_x^1~\sqrt{1-t^2}dt \end{eqnarray}$ ist? Insbesondere verstehe ich nicht, warum da ein xy steht. Schließlich ist es ein Kreis und kein Rechteck. 2* ist klar, denn der Kreis ist ja auf beiden Seiten. Naja vielleicht erklärt mir das nochmal jmd genauer :-) Wär echt lieb von euch
09.01.2007, 18:36	donvito	Auf diesen Beitrag antworten »
hochschieb Wie komme ich denn jetzt auf diese Funktion??
10.01.2007, 07:24	zt	Auf diesen Beitrag antworten »
udsaiiudsau
10.01.2007, 09:39	donvito	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das hat geholfen!
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