Bestimmung aller reelen Lösungen einer trigonometrischen Gleichung

14.09.2011, 10:29

Martin Frei

Bestimmung aller reelen Lösungen einer trigonometrischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\cos\wedge 2(x) } \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand den Lösungsweg aufzeigen, wie ich sämtliche reele Lösungen dieser Gleichung bestimmen kann? Habe keine Ahnung wie ich da vorgehen soll.

14.09.2011, 10:32

Grouser

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Form doch erst einmal um...

14.09.2011, 10:33

klarsoweit

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RE: Bestimmung aller reelen Lösungen einer trigometrischen Gleichung
Vermutlich geht es um $\begin{eqnarray*} \cos(x) = - \sqrt{1-\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ .

Da kannst du u = cos(x) substituieren und mit bekannten Methoden lösen.

Tipp: du brauchst für den Latexcode die Latex-Tags nur einmal setzen.

14.09.2011, 10:34

numerouno

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RE: Bestimmung aller reelen Lösungen einer trigometrischen Gleichung
Dein Ausdrukc auf der rechten Seite entspricht

$\begin{eqnarray*} -\sin(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt stellst du nach einer Seite der Gleichung um und bestimmst eine Lösung,
die übrigen Lösungen ergeben sich aufgrund der Periodizität was du bestimmt
weißt.

$\begin{eqnarray*} 0=\cos(x)+\sin(x) \end{eqnarray*}$

Wo sind Sinus- und Kosinuswerte vom Vorzeichen verschieden aber vom Betrag her gleivh, zeichne dir mal einen Graphen dann
siehst du es.

14.09.2011, 10:39

René Gruber

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Anmerkung

Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} \cos(x) = - \sqrt{1-\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ .

Es hilft Scheinlösungen zu vermeiden, wenn man gleich an dieser Stelle mal festhält, das aufgrund der rechten Seite hier nur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Werte mit $\begin{eqnarray*} \cos(x)\leq 0 \end{eqnarray*}$ als Lösungen in Frage kommen.

14.09.2011, 10:48

numerouno

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RE: Anmerkung
welche scheinlösungen, bei mir entstehen keine Scheinlösungen.

14.09.2011, 10:52

René Gruber

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Da irrst du dich: Deine Gleichung $\begin{eqnarray*} 0 = \cos(x) + \sin(x) \end{eqnarray*}$ besitzt z.B. die Lösung $\begin{eqnarray*} x = -\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ , welche keine Lösung der Originalgleichung ist.

Es kommt noch schlimmer, die Lösung $\begin{eqnarray*} x = -\frac{3}{4}\pi \end{eqnarray*}$ der Originalgleichung geht dir durch die Lappen, einfach weil du unsauber gearbeitet hast: Es ist mitnichten $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\cos^2(x)}=\sin(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , sondern zunächst mal nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\cos^2(x)} = |\sin(x)| \end{eqnarray*}$ .

14.09.2011, 11:00

numerouno

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OK, aber so habe ich es leider gelernt, das mit den Betragsstrichen beim Sinus
rührt wohl wieder von dem alten Problem her das das Quadrieren keine Aquivalnzumformung ist oder wie erklärt sich dies?

14.09.2011, 11:07

René Gruber

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Für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2}=|t| \end{eqnarray*}$ , so auch für $\begin{eqnarray*} t^2=1-\cos^2(x) = \sin^2(x) = (\sin(x))^2 \end{eqnarray*}$ .

14.09.2011, 11:16

numerouno

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Ja stimmt, habs durchgerechnet, hast Recht und ich dachte ich verstehe Mathematik aber anscheinend doch nicht.

Ich danke dir jedenfalls für das Aufmerksammachen auf diese Unsaubere Art und Weiße und warum das so ist.

15.09.2011, 10:37

Martin Frei

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Sorry das ich da nochmal nachfrage. Nach Betrachtung der Literatur ergibt der rechte Ausdruck meiner Gleichung nicht $\begin{eqnarray*} -\sin(x) \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ für x $\begin{eqnarray*} \in \left[\pi,2\pi \right] \end{eqnarray*}$ . Stelle ich dann die Gleichung um so erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x) }{cos(x)}= 1 \end{eqnarray*}$ und dies ergibt $\begin{eqnarray*} \tan(x) = 1 \end{eqnarray*}$ . Als Lösung erhalte ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{5\pi }{4} + k\times 2\pi \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} x\in \left[\pi,2\pi \right] \end{eqnarray*}$ . Habe ich irgendwo einen Denkfehler gemacht?

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