Dreifachintegrale

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Lu-1988 Auf diesen Beitrag antworten »
Dreifachintegrale
Meine Frage:
Hallo, Ich habe mal eine Frage und nachdem ich im Internet nichts gefunden habe was mir hilft, wende ich mich jetzt an euch.
Ich habe hier eine Aufgabe mit der ich nicht zurecht komme.

Durch die Ungleichungen

0 <= x <= 1; 0 <= y <= 1; 0 <= z <= y2

wird ein räumlicher (homogener) Körper K beschrieben. Fertigen Sie eine Skizze von K an. Berechnen Sie die y-Koordinate des Schwerpunkts von K.


Meine Ideen:
So mein Frage ist jetzt in welchen Koordinaten ich das am besten angehe. Kann ich erst einfach mit x,y und z Koordinaten, und den Grenzen so wie sie in den ungleichungen stehen, das Volumen berechnen und dann den Schwerpunkt
oder
sollte ich das lieber in polarkoordinaten transformieren und dann das volumen so berechnen.
ich hab beides mal ausprobiert. bekomm aber leider nicht das selbe ergebnis für das volumen heraus.
PS: Bei der Skizze fehlt mir jeglicher Ansatz. Wär schön wenn ihr mir auch da helfen könntet.
schonmal vielen dank für eure hilfe
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zuallererst muß die Skizze her. Alles andere ist zunächst nebensächlich. Fang doch einmal mit



an. Welche Punkte der -Ebene werden hiermit beschrieben? Dann kommt die nächste Ungleichung dran? Soll das übrigens heißen?
Lu-1988 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ich weiß leider nicht wie man die funktion hier im programm zeichnet. ich hab mal ein foto aus der x,y-Ebene mit geschickt. ich denke das alle punkte zwischen 0 und 1 auf der x und der y achse damit beschrieben werden.
ja das soll y^2 heißen.. sorry
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und jetzt gibt es noch die Koordinate . Von der heißt es



Wie du siehst, hängt diese Bedingung gar nicht von ab.

1. Du darfst z.B. nehmen. Wir befinden uns also in der -Ebene irgendwo zwischen und auf der -Achse. Jetzt darfst du nach oben gehen, mit irgendeinem zwischen und . Wenn wir uns z.B. an der Stelle befinden, wie hoch darfst du dann mit gehen? Und bei ? Oder bei ? Oder bei ? Oder bei ? Wie hoch darfst du jeweils mit gehen?
Alle diese Strecken, die auf dem jeweiligen -Wert stehen, bilden eine Fläche. Beschreibe in Worten, wie diese Fläche aussieht.

2. Bisher war immer . Du darfst das Ganze aber ebenso bei oder oder machen. Wie schon gesagt, hängt die Bedingung gar nicht von ab. Deshalb erhältst du auch lauter zur Fläche in 1. kongruente Flächen.

3. Und wie sieht der Körper aus, den die in 2. beschriebenen Flächen bilden?
Lu-1988 Auf diesen Beitrag antworten »

okay das erste hab ich verstanden.
bei y=0 ist z=0
bei y=0,2 ist z=0,04 und so weiter
nur wie ich das in die Skizze übertrage ist mir noch nicht so klar.
Lu-1988 Auf diesen Beitrag antworten »

das ist mein erster ansatz
 
 
Lu-1988 Auf diesen Beitrag antworten »

bzw. so...
also wie eine Rampe
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt!

Und eigentlich brauchst du zur Volumenberechnung nicht einmal die Integralrechnung bemühen, jedenfalls nicht die mehrdimensionale. Es genügt der gesunde Menschenverstand. Der Körper ist nämlich in weiterem Sinn ein Zylinder: Grundfläche mal Höhe.
Lu-1988 Auf diesen Beitrag antworten »

also berechne ich die Grundfläche mit einem einfachintegral

\int_0^1 \! y^2 \, dy

und dann multipliziere ich das ergebnis mit der länge. in diesem fall dann die x=1?!

aber für den schwerpunkt benötige ich dann ein Dreifachintegral oder?
Lu-1988 Auf diesen Beitrag antworten »

also berechne ich die Grundfläche mit einem einfachintegral



und dann multipliziere ich das ergebnis mit der länge. in diesem fall dann die x=1?!

aber für den schwerpunkt benötige ich dann ein Dreifachintegral oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Der Körper hat .

Und richtig, für den Schwerpunkt brauchst du jetzt doch das Integral. Für die drei Koordinaten des Schwerpunktes gilt:



Der Faktor 3 ist der Kehrwert des Volumens.

kann man durch Nachdenken herausfinden, ganz ohne Rechnung.
Lu-1988 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab den Schwerpunkt jetzt berechnet und habe heraus.
xs müsste doch eigentlich 0,5 sein, oder nicht?!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt. Und ich habe noch .
Lu-1988 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das hab ich auch. Super vielen herzlichen dank. So gut wurde mir mathe noch nie erklärt. Ich habs wirklich verstanden und kann das denke ich auch auf andere aufgaben anwenden.
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