Zahlentheorie - Frage zu einem Beweis

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ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie - Frage zu einem Beweis
Hallo,

ich habe einen Satz in meinem Skript, dessen Beweis ich nicht ganz nachvollziehen kann, und habe deshalb einige Fragen dazu.

Der Satz lautet:

Zitat:
Es gibt unendlich viele mit


Nun der Beweis: (ich nummeriere jeden Schritt, damit es übersichtlicher wird)

Zitat:
Angenommen, es gäbe nur endlich viele, etwa .
1) Betrachten wir
2) Dann gilt
3) Insbesondere ist dann ungerade
4) Es sei eine Primfaktorzerlegung von .
5) Die sind alle ungleich 2, also gilt für jedes entweder oder
6) Wenn für alle gelten würde, so auch für -> Widerspruch
7) Also gibt es mindestens ein mit
8) Dann muss in enthalten sein.
9) Sei etwa Dann gilt -> Widerspruch


Meine Fragen/Probleme:

Schritt 1) : Warum definiert man sich das z so, und nicht anders?

Schritt 2) habe ich, denke ich, verstanden, denn es gilt

Schritt 3) und 4) sind soweit klar.

Schritt 5) Dass die alle ungleich 2 sind, liegt daran, dass z ungerade ist, denke ich. Jetzt ist mir aber nicht klar, warum entweder oder gelten muss. Ich sehe nicht, wie man darauf kommt.

Schritt 6), 7) und 8) sind dann wieder klar.

Bei Schritt 9) tritt wieder ein Problem auf. Mir ist noch nicht ganz klar, warum ein Widerspruch ist.
Ich vermute allerdings, dass es daran liegt, dass nach Definition von lediglich gilt.

Kann mir jemand bei meinen Problemen helfen?

danke schonmal im voraus.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie - Frage zu einem Beweis
hallo!
hab zwar selbst noch keinen algebrakurs besucht, aber ich denke ich kann dir ein wenig helfen.
z definiert man sich so, damit man damit die folgenden schritte machen kann und eben am ende auf diesen widerspruch kommt.
q_i sind prim ungleich 2, also ungerade. für ungerade zahlen gilt entweder, sie sind zu 1 oder zu 3 kongruent mod4, andere möglichkeiten (0 oder 2) sind ausgeschlossen.
deine vermutung bei 9. stimmt in etwa so. p_j müsste z teilen, ebenso das produkt 4*p_1*...*p_n, und somit auch 1, was nicht geht.
lg
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie - Frage zu einem Beweis
hallo chrono,
ich habe den beweis verstanden und kann dir glaube ich helfen.
Jetzt zu den einzelnen punkten:

punkt 1: man definiert z so, weil man für den beweis einen ansatz braucht und
z so konstruiert, das z eben kongruent zu 3 modulo 4 ist, das kann man mit diesem term ( 4mal p1 mal p2 mal .. mal pn-1) erreichen.

punkt 5: es geht nur q1 kongruent zu 1 oder 3, denn die anderen beiden möglichkeiten q1 kongruent zu 0 oder 2 gehen ja nicht, sonst wäre q1 ja eine gerade zahl entgegen der vorraussetzung

punkt 9: pj kann nicht teiler von ( 4*p1*p2*...*pn) -1 sein, sondern von
4*p1*p2*...pn.

Ich hoffe, das ich dir helfen konnte, das ist eigentlich ein schöner beweis.
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

danke euch beiden, mit diesen Tipps habe ich den Beweis nun auch verstanden Freude
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