Linearisierung mehrerer Veränderliche

14.09.2011, 14:57

fontsix

Linearisierung mehrerer Veränderliche

Huhu, habe folgendes Problem

Die Funktion $\begin{eqnarray*} z=f(x,y)=x^{3}y - 3xy^{2}+2x \end{eqnarray*}$ soll ich im Arbeitspunkt $\begin{eqnarray*} (1,-2) \end{eqnarray*}$ linearisieren.
Dazu bilde ich folgende Ableitungen

$\begin{eqnarray*} f_{x} (x,y)=3x^{2}y-3y^{2}+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{y} (x,y)=x^{3}-6xy \end{eqnarray*}$

Danach setze ich den Arbeitspunkt in die Ableitungen ein und komme auf

$\begin{eqnarray*} f_{x} (1,-2)=-16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{y} (1,-2)=13 \end{eqnarray*}$

Und wie setze ich das ganze jetzt in die Taylorformel ein um auf die linearisierte Funktion zu kommen ?

14.09.2011, 14:59

tigerbine

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RE: Linearisierung mehrerer Veränderliche
[Artikel] Taylorapproximation

Guck mal hier rein. Also, wie sieht der Mehrdim. Taylor erster Ordnung aus? smile

14.09.2011, 15:08

fontsix

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Vielleicht so in der Form ? Ist das die Lösung ?

$\begin{eqnarray*} \Delta z=-16\Delta x + 13\Delta y \end{eqnarray*}$

14.09.2011, 15:11

tigerbine

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Wo kommt die Notation her?

Aus dem Workshop:
$\begin{eqnarray*} f(x) \approx T_2(x,x_0) = f(x_0) + \nabla f(x_0)^T(x-x_0) + \frac{1}{2} \cdot (x-x_0)^T \cdot H_f(x_0) \cdot (x-x_0) \end{eqnarray*}$ .

Nun sagte ich, dass wir T1 machen wollen. Also
$\begin{eqnarray*} f(x) \approx T_1(x,x_0) = f(x_0) + \nabla f(x_0)^T(x-x_0) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Dazu bilde ich folgende Ableitungen

Warum? Deine Motivation hast du gar nicht erläutert. Wo tauchst es in der T1 Formel auf? Wie lautet also die Linearisierung? smile

14.09.2011, 15:12

fontsix

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Ich hab die Papula Formelsammlung neben mir liegen, dort wird die Ausgangsfunktion zuerst nach x abgeleitet dann die Ausgangsfunktion nach y abgeleitet und dann der Arbeitspunkt in die Ableitungen eingesetzt.

14.09.2011, 15:17

tigerbine

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Und das Buch erwähnt vorher nicht, was man eigentlich sucht? Nicht gut!

Ich wiederhole:

$\begin{eqnarray*} f(x) \approx T_1(x,x_0) = f(x_0) + \nabla f(x_0)^T(x-x_0) \end{eqnarray*}$ .

Was ist denn ein Gradient? Also der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \nabla f(x_0) \end{eqnarray*}$ ? Denke an die transponierte Jacobimatrix http://de.wikipedia.org/wiki/Jacobi-Matrix

Also, wie sieht dein T1 nun konkret aus?

14.09.2011, 15:17

fontsix

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also dann

$\begin{eqnarray*} -12+\nabla f(x_{0})(x-1) \end{eqnarray*}$

Allerdings ist mir nicht ganz klar was ich für $\begin{eqnarray*} \nabla f(x_{0}) \end{eqnarray*}$ einsetzen soll ... unglücklich

14.09.2011, 15:18

tigerbine

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Siehe mein letztes Posting. Du bist kurz vor der Lösung. Aber bitte Theorie wiederholen. Schritte zu tun, ohne zu wissen warum, ist ... smile

14.09.2011, 15:20

fontsix

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Haben wir noch eine Variante ohne Jacobi-Matrix zur Auswahl ? Big Laugh

14.09.2011, 15:23

tigerbine

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Nein, ist ja kein Wunschkonzert.

Aber du solltest wirklich mal drüber nachdenken, warum du partielle Ableitungen gebildet und ausgewertet hast. Und unter diesem Gesichtspunkt die Definition der Jacobimatrix/des Gradienten lesen.

Oh Huhn, wo ist dein Korn? Big Laugh

14.09.2011, 15:29

fontsix

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$\begin{eqnarray*} -12-16(x-1)+13(y+2) \end{eqnarray*}$ ? Big Laugh

Die partiellen Ableitungen bildet man nunmal um eine Funktion zu linearisieren ... Warum sollte ich mir mehr Gedanken darüber machen ? Ist doch wie bei Taylor mit einer Variable.

14.09.2011, 15:51

tigerbine

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Zitat:

Und wie setze ich das ganze jetzt in die Taylorformel ein um auf die linearisierte Funktion zu kommen ?

Zitat:

Die partiellen Ableitungen bildet man nunmal um eine Funktion zu linearisieren ... Warum sollte ich mir mehr Gedanken darüber machen ? Ist doch wie bei Taylor mit einer Variable.

Ich mag es nicht, wenn man mir nur Brocken hinschmeißt. Ferner spukst du ziemlich große Töne für jemanden, der nicht weiß was er warum macht. Wenn alles so klar ist, warum fragst du dann? verwirrt

Das mehrdimensionale Analogon zu

$\begin{eqnarray*} T_1(x,x_0) = f(x_0) + f'(x_0)^T(x-x_0) \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} T_1(x,x_0) = f(x_0) + \nabla f(x_0)^T(x-x_0) \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x_0) \end{eqnarray*}$

der Gradient von f im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist. Transponiert ist damit die Jacobimatrix gemeint. Schlägt man die Begriffe nun nach, so weiß man, dass man zur Berechnung die partiellen Ableitungen bestimmen muss und diese auswertet.

$\begin{eqnarray*} T_1(x,x_0) &&= f(1,-2) + \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(1,-2) , \frac{\partial f}{\partial x_2}(1,-2) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1-1\\x_2+2\end{pmatrix} <br /> &&=-12 + (-16,13)\begin{pmatrix} x_1-1\\x_2+2\end{pmatrix}<br /> &&= -12 - 16(x_1-1) + 13(x_2+2) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, das warum ist nun klar. Darum ging es mir. Dein "Ergebnis" stimmt.

14.09.2011, 16:23

fontsix

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So wars doch garnicht gemeint, als Bachelor-Student hat man nicht die Zeit alles bis in die Tiefe zu ergründen, zudem Studiere ich keine Mathematik, machmal muss man sich eben auch damit zufrieden geben wenn man eine Prüfung einfach "nur" besteht, leider.

Trotzdem vielen vielen Dank für die Erklärung. Gott

14.09.2011, 16:26

tigerbine

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Auch als Fachfremder sollte man jedoch als Student sich immer die Frage stellen: Was suche ich? Hier war es:

$\begin{eqnarray*} T_1(x,x_0) = f(x_0) + \nabla f(x_0)^T(x-x_0) \end{eqnarray*}$

Das habe ich vermisst. Du solltest gar nicht begründen, warum das die Linearisierung ist. Augenzwinkern

Danach kann man sich fragen: Welche Symbole kenne ich nicht, wo muss ich nachgucken usw.

Gilt auch unabhängig vom Studienfach. Wink

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