Grenzwert einer Folge

25.12.2006, 14:43

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzwert einer Folge

Hallo zusammen,
hier gleich mein nächstes Problem:

Es soll der Grenzwert dieser Folge bestimmt werden:
$\begin{eqnarray*} G=\lim_{n \to \infty} {\sqrt{n}(1-\sqrt{1-sin(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})})} \end{eqnarray*}$

Hinweis: zuerst soll $\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ untersucht werden.

Was ich bisher habe, ist folgendes:
$\begin{eqnarray*} a_n \rightarrow 0 \ (n \rightarrow \infty) \end{eqnarray*}$

Danach habe ich das ganze Gebilde umgeformt und bin jetzt so weit:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {\sqrt{n} \frac{sin(a_n)}{1+\sqrt{1-sin(a_n)}}} \end{eqnarray*}$
Leider weiß ich nicht, wie's jetzt weitergehen soll. Das n kann ich ja noch nicht gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ laufen lassen, oder?

Gruß
Natalie

25.12.2006, 15:02

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau Dir mal das hier an:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {\sqrt{n} \frac{sin(a_n)}{1+\sqrt{1-sin(a_n)}}} = \lim_{n \to \infty} {\sqrt{n} \frac{sin(a_n)}{\sqrt{n}*(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{\sqrt{1-sin(a_n)}}{\sqrt{n}})}} \end{eqnarray*}$

edit:

Hm ich glaub das Hilft Dir hier nicht weiter :/.

25.12.2006, 15:10

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Hm ich glaub das Hilft Dir hier nicht weiter :/

Da hast du Recht.
Man könnte das $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ kürzen, aber dann?

25.12.2006, 15:11

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hättest Du $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ und könntest L'Hospital anwenden. Weiter hab ich dann aber nicht gerechnet.

25.12.2006, 15:12

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

L'Hospital hatten wir leider nicht.
Gibt's da nicht ne andere Möglichkeit?

25.12.2006, 15:14

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es sicher aber die fällt mir so schnell nicht ein, gibt hier aber ein paar sehr gute Leute was Grenzwerte angeht. Ich überleg mir was kann aber dauern Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

25.12.2006, 15:23

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Mühe.
In unserem Lösungsvorschlag steht folgender Schritt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \frac{a_n}{1+\sqrt{1-sin(a_n)}} \underbrace{\frac {sin(a_n)}{a_n}}_{\rightarrow 1} \end{eqnarray*}$
Mit dem kann ich aber absolut nichts anfangen.
Warum geht $\begin{eqnarray*} {\frac {sin(a_n)}{a_n}} \end{eqnarray*}$ gegen 1?

25.12.2006, 15:37

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Nahe bei Null ist $\begin{eqnarray*} sin(x) \approx x \end{eqnarray*}$ und der Grenzwert von an ist ja 0. Und mit dem Hinweis kannste jetzt Folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {\sqrt{n} \frac{sin(a_n)}{1+\sqrt{1-sin(a_n)}}} = \lim_{n \to \infty} {\sqrt{n} \frac{sin(a_n)}{1+\sqrt{1-sin(a_n)}}}\frac{a_n}{a_n} = \lim_{n \to \infty} {\sqrt{n} \frac{a_n}{1+\sqrt{1-sin(a_n)}}}\frac{sin(a_n)}{a_n} \end{eqnarray*}$

und das ist gleich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} { \frac{\sqrt{n^2 + n} - n}{1+\sqrt{1-sin(a_n)}}}\frac{sin(a_n)}{a_n} \end{eqnarray*}$

Naja und den Grenzwert im Zähler kann man jetzt bestimmen.

Zum Beweis von sin(x)/x

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)}{1} = 1 \end{eqnarray*}$

Hier benutzt man L'Hospital um den Grenzwert zu zeigen. Deshalb hat man es euch wohl auch vorgeben, obwohl ich denke das man das auch ohne zeigen kann.

25.12.2006, 16:04

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich tue mich gerade schwer, den Grenzwert davon zu bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} { \frac{\sqrt{n^2 + n} - n}{1+\sqrt{1-sin(a_n)}}} \end{eqnarray*}$
Wenn ich mit der 3. Binomischen Formel erweitere, erhalte ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} { \frac{n}{(1+\sqrt{1-sin(a_n))}\cdot (\sqrt{n^2+n}+n)}} \end{eqnarray*}$

25.12.2006, 16:36

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Terme bis aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{n(n+1)}] - n \end{eqnarray*}$ konvergieren bereits. Das heißt Du musst lediglich noch den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \sqrt{n(n+1)}- n \end{eqnarray*}$ berechnen und kannst dann die Grenzwertsätze ansetzen .

Tip:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{n(n+1)} + n} = \frac{n*1}{n*(\frac{\sqrt{n*(n+1)}}{n} + 1)} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} n = n^1 \end{eqnarray*}$

Du musst nur noch geschickt zusammenfassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

25.12.2006, 18:02

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Du musst nur noch geschickt zusammenfassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Das ist leichter gesagt.
Ich weiß gerade echt nicht, wie das gehen soll.
Das n kürzen. Aber dann ist da immer noch der Bruch, der mir Kopfzerbrechen bereitet.
Kannst du mir vielleicht noch nen Tipp geben?

25.12.2006, 18:09

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n(n+1)}}{n} = \frac{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}{n} \end{eqnarray*}$

und es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

jetzt sollte es aber klingeln Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.12.2006, 18:18

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.
Also so:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{n}}\frac{\sqrt{n+1}}{n}+1} \end{eqnarray*}$ .
Konvergiert das dann gegen 1?

25.12.2006, 18:19

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein Du hast falsch umgeformt, das n unterm Bruch verschwindet.

25.12.2006, 18:31

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

So:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}+1} \end{eqnarray*}$

25.12.2006, 18:33

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

25.12.2006, 18:36

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

OK.
Aber damit kann man doch noch keinen Grenzwert bestimmen, oder?
Wenn n gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht, dann stünde ja in dem Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$

25.12.2006, 18:41

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{n+1}{n}} \end{eqnarray*}$ geht gegen 1 den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n+1}{n} = 1 \end{eqnarray*}$

solltest Du kennen.

25.12.2006, 18:45

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso. Das wusste ich nicht.

Das bedeutet dann also, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}+1} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

25.12.2006, 18:51

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau.

25.12.2006, 19:41

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.
Dann fass ich mal zusammen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}{\frac{sin(a_n)}{a_n}}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {\sqrt{n^2+n}-n}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}{1+\sqrt{1-sin(a_n)}}=1+\sqrt{1-0}=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \ \lim_{n \to \infty} {\frac{\sqrt{n^2+n}-n}{1+\sqrt{1-sin(a_n)}} \cdot \frac{sin(a_n)}{a_n}}=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »