Integrieren durch Substitution - Wurzel im Nenner

25.12.2006, 15:38	coppermine	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrieren durch Substitution - Wurzel im Nenner Hallo zusammen! Über die folgenden Integration zerbrech ich mir schon die letzten Tage den Kopf. $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x^{2}}~dx \end{eqnarray}$ Mein Lösungsansatz: =========================================== $\begin{eqnarray} x=2sinu \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dx}{du}=2cosu \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dx=2cosu~du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{\sqrt{4-4sin(u)^{2}}}{4sin(u)^{2}}2cos(u)~du\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{\sqrt{4}\sqrt{1-sin(u)^{2}}}{4sin(u)^{2}}2cos(u)~du\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{2cos(u)}{4sin(u)^{2}}2cos(u)~du\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{cos(u)^{2}}{sin(u)^{2}}~du\ \end{eqnarray*}$ An dieser Stelle komm ich nicht mehr weiter. Wie muss ich jetzt vorgehen? Würde mich riesig freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Vielen Dank im voraus! Bye, coppermine
25.12.2006, 15:42	swerbe	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cot (x) \end{eqnarray}$ hilft das weiter...?
25.12.2006, 15:43	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} cos(u)^2 = 1 - sin(u)^2 \end{eqnarray}$ ergibt also: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{cos(u)^{2}}{sin(u)^{2}}~du = \int_{}^{} \frac{1}{sin^2(u)}du - \int_{}^{}1 du \end{eqnarray}$ Beide Integrale kann man lösen . Kann man aber sicher auch anders machen aber so hab ichs mal gemacht.
26.12.2006, 17:35	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrieren durch Substitution - Wurzel im Nenner Denkbar wäre auch eine partielle Integration vorzuschalten: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}~dx = \int_{}^{}~\frac{1}{x^2} \cdot \sqrt{4-x^2}~dx = \frac{-1}{x} \cdot \sqrt{4-x^2}~dx - \int_{}^{}~\frac{-1}{x} \cdot \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}~dx \end{eqnarray}$

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