Die Elementrelation, Das Vereinigungsmengenaxiom [Logik]

14.09.2011, 17:03	wior	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Elementrelation, Das Vereinigungsmengenaxiom [Logik] Meine Frage: Das Vereinigungsmengenaxiom von ZFC lautet: $\begin{eqnarray} \forall x\exists y\forall z\left(z\in y \leftrightarrow \exists w\left(w\in x \wedge z\in w\right) \right) \end{eqnarray}$ Seien die natürlichen Zahlen Mengen. Wie sieht nun die Vereinigungsmenge von $\begin{eqnarray} x = \left\{1,2,3,\left\{4,5\right\},\left\{ 6,\left\{ 7,8\right\} \right\} \right\} \end{eqnarray}$ aus? Meine Ideen: Es sei $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ die Vereinigungsmenge. Es sind $\begin{eqnarray} 4,5 \in y \end{eqnarray}$ denn $\begin{eqnarray} w = \left\{4,5\right\} \in y \end{eqnarray}$ , ebenso $\begin{eqnarray} 6, \left\{7,8\right\} \end{eqnarray}$ . Wie sieht es aber mit $\begin{eqnarray} 1,2,3,7,8 \end{eqnarray}$ aus? Gilt $\begin{eqnarray} 1 \in 1 \end{eqnarray}$ ? Wenn das gilt, sind $\begin{eqnarray} 1,2,3, \left\{4,5\right\},\left\{ 6,\left\{ 7,8\right\} \right\} \in y \end{eqnarray}$ , aber auch $\begin{eqnarray} x \in y \end{eqnarray}$ und das driftet Richtung Potenzmenge ab. Weiter sind die natürlichen Zahlen definiert als $\begin{eqnarray} 0 = \emptyset, n = \left\{(n-1), \left\{(n-1)\right\}\right\} \end{eqnarray}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray} 0,1,2 \in y \end{eqnarray}$ . Wie sieht $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ denn nun aus?
14.09.2011, 23:34	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube dein Problem ist die unterschiedliche Bedeutung des Mengenbegriffs in der Mengenlehre und der restlichen Mathematik. Wenn man naiv Mengenlehre betreibt kann man den Eindruck bekommen, man hätte es mit irgendwelchen Objekten wie den natürlichen oder reellen Zahlen zu tun, die selbst keine Mengen sind, aber welche man zu Mengen zusammenfassen kann. Nun ist es aber in einigen Teilen der formalen Mengenlehre aber so, dass das gesammte Universum aus Mengen besteht und du hast ja bereits in der Frage geschieben, dass $\begin{eqnarray} 0 = \emptyset, n = \left\{(n-1), \left\{(n-1)\right\}\right\} \end{eqnarray}$ gilt und du somit jede natürliche Zahl in aufzählende Mengenschreibweise übersetzen kannst. Schreibe also für jedes $\begin{eqnarray} n \in x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\{(n-1), \left\{(n-1)\right\}\right\} \end{eqnarray}$ und verfahre beim bilden der Vereinigung wie bei $\begin{eqnarray} \left\{4,5\right\} \end{eqnarray}$ . Was $\begin{eqnarray} 1 \in 1 \end{eqnarray}$ angeht, so würde das gegen das Fundierungsaxiom verstoßen.
15.09.2011, 00:09	wior	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist $\begin{eqnarray} y = \{0,\{0\},1,\{1\},2,\{2\},4,5,6,\{7,8\}\} \end{eqnarray}$ ? Wow, das macht das Axiom schon etwas weniger anschaulich.
15.09.2011, 10:43	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »

19.09.2011, 10:37	wior	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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