schwierigere Wurzelgleichung lösen

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14.09.2011, 17:18	königohnekrone	Auf diesen Beitrag antworten »
schwierigere Wurzelgleichung lösen Meine Frage: $\begin{eqnarray} x^{\frac{1}{4}} -2(xy)^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{4}}=1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Macht eine Substitution àla $\begin{eqnarray} y^{\frac{1}{4}}=u<br /> y^{\frac{1}{2}}=u^{2}<br /> y=u^{4} \end{eqnarray}$ hier Sinn? Komme nicht allzuweit weil oft der Faktor $\begin{eqnarray} (xy)^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ bleibt. Kann mann auch zwei Substitutionen in einer Gleichung durchführen?
14.09.2011, 17:20	königohnekrone	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schwierigere Wurzelgleichung lösen Achso: Die Gleichung soll nach y aufgelöst werden!
14.09.2011, 17:21	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich würde vorschlagen du nimmst die ganze Gleichung hoch 4, damit entfernst du die Wurzeln. Dann sollte etwas altbekanntes dastehen. Beachte: Beim Potenzieren einer Gleichung kann sich die Lösungsmenge vergößern.
14.09.2011, 17:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach x oder y allein lässt sich die Gleichung nicht lösen (2 Variable benötigen zur eindeutigen Lösung auch 2 Gleichungen). Offensichtlich fehlt eine Gleichung. Du kannst aber hier eine binomische Formel anwenden ... Deine Substitutionsidee ist ja nicht schlecht, jedoch eher so: $\begin{eqnarray} x = u^4; \ y = v^4 \end{eqnarray}$ Edit: Mit 4 potenzieren würde ich eher NICHT! mY+
14.09.2011, 17:26	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut, die binomische Forme habe ich nicht gesehen. Das ist dann natürlich ein besserer Weg. edit: Ich habe mich falsch ausgedrückt. Ich meinte nicht das Potenzieren der gesamten Gleichung, sondern nur des y, was auf eine Substituion hinauslaufen würde. $\begin{eqnarray} u = \sqrt[4]{y} \end{eqnarray}$
14.09.2011, 18:06	königohnekrone	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> x^{\frac{1}{4}}-2(xy)^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{4}}=1<br /> v-2v^{2}u^{2}+u=1<br /> \end{eqnarray}$ soweit in ordnung?
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14.09.2011, 19:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt. Und nun kommt man darauf, dass eine binomische Zerlegung so gar nicht möglich ist. Sorry, ich hab' vorhin leider zu flüchtig darübergesehen. Kannst du die Angabe nochmals kontrollieren? Gibt es eine 2. Gleichung? mY+
15.09.2011, 09:24	königohnekrone	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein die gibt es nicht. Wies' aussieht soll die Gleichung soll nur umgestellt werden, um auf den Zusammenhang zwischen x und y zu kommen. Ich kann mal einen Blick in die Lösung werfen: $\begin{eqnarray} y=[\frac{1}{4x^{1/2}}\pm\sqrt{\frac{1}{16x}-\frac{1-x^{1/4}}{2x^{1/2}}}]^{4} \end{eqnarray}$ Werde sie heute nachmittag nochmal rechnen. Meint ihr ich komme mit meinem Ansatz dann auf diese Lösung? Vielen Dank für die Mitarbeit
15.09.2011, 11:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dieser Ansatz führt auch auf die angebene Lösung. Ausgehend von der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray} 2u^2 \ v^2 - v + (1 - u) = 0 \end{eqnarray}$ lösen wir diese nach v: $\begin{eqnarray} v_{1,2} = \frac {1 \pm \sqrt{1 - 8u^2(1 - u)}}{4u^2} \end{eqnarray}$ und nach Division durch $\begin{eqnarray} 4u^2 \end{eqnarray}$ kommt $\begin{eqnarray} v_{1,2} = \frac 1 {4u^2} \pm \sqrt{\frac 1 {16u^4} - \frac{1 - u}{2u^2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ mY+
18.09.2011, 13:33	königohnekrone	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus! Ich verstehe nur leider nicht wie man die Gleichung nach v auflöst (2. Schritt)
19.09.2011, 20:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
... mit der großen (a, b, c - ) Formel der quadratischen Gleichung. mY+

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