Vektoren Länge der Seitenhalbierende

14.09.2011, 18:05	Seichiro	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren Länge der Seitenhalbierende Meine Frage: Ich komme bei eienr aufgabenstellung nicht mehr weiter undzwar lautet diese: Berechnen sie die Länger der drei Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC mit a.) A(4\|2\|-1) , B(10\|-8\|9) und C (4\|0\|1) So wie muss ich da vorgehen... ich habe sooovieles gerechnet und habe immer was raus bekommen und weis jetzt nicht was richtig davon ist... Meine Ideen: das erste was ich gemacht habe war wenn ich jetzt die Seitenhalbierende C ausrechnen will das ich AC gerechnet hab..also die seiten länge : C - A = (0,-2,2)und das als zahl = 2,83... nuuunn ich komm net vorran udn weis net ob es richtig ist mein rechen weg... BITTE einmal GANZ genau den rechen weg für 1 seitenhalbierende.... danke
14.09.2011, 18:49	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren Länge der Seitenhalbierende Der Vektor CA allein hilft Dir hier nicht weiter, Du benötigst eigentlich den Vektor BM, wobei M der Mittelpunkt der Strecke AC sei. Wenn ich es richtig sehe, ist diese Strecke BM eine der drei Seitenhalbierenden. Von diesem Vektor ist der Betrag (= Länge) zu bestimmen. Dementsprechend berechnest Du die beiden anderen Seitenhalbierenden. Da ich zurzeit wenig Gelegenheit habe, hier aktiv zu sein, bitte ich andere Helfer, hier dann weiterzuhelfen.
14.09.2011, 20:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur konkreten Aufgabe hat Gualtiero alles gesagt. Ich will aber einmal den allgemeinen Zusammenhang herausarbeiten. Hier ein vektorieller Beweis. Im Dreieck $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ die Mitte der Seite $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ . Ich führe die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} = \overrightarrow{BC} \, , \ \ \vec{b} = \overrightarrow{AC} \, , \ \ \vec{c} = \overrightarrow{AB} \, , \ \ \vec{s} = \overrightarrow{DC} \end{eqnarray}$ ein. Das Skalarprodukt von Vektoren schreibe ich als Multiplikation. Es gilt dann: $\begin{eqnarray} \vec{s}^{\, 2} = \frac{1}{2} \left( \vec{s} - \frac{1}{2} \, \vec{c} \right)^2 + \frac{1}{2} \left( \vec{s} + \frac{1}{2} \, \vec{c} \right)^2 - \frac{1}{4} \, \vec{c}^{\, 2} \end{eqnarray}$ Das folgt allein durch Nachrechnen, ohne jede Geometrie. Denn rechts heben sich nach Ausquadrieren sowohl die gemischten Glieder $\begin{eqnarray} \vec{c} \, \vec{s} \end{eqnarray}$ also auch die Glieder $\begin{eqnarray} \vec{c}^{\, 2} \end{eqnarray}$ gegenseitig weg. Und jetzt kommt die Geometrie ins Spiel. Die erste Klammer ist nämlich gerade $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ , die zweite $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ . Daher gilt, wenn man die Beträge der Vektoren ohne Pfeile schreibt: $\begin{eqnarray} s^2 = \frac{1}{4} \left( 2a^2 + 2b^2 - c^2 \right) \end{eqnarray}$ Das ist die Formel für die Seitenhalbierende von $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ . Durch zyklische Vertauschung erhält man die Formeln für die anderen beiden Seitenhalbierenden. Hat man also erst einmal die Seitenlängen des Dreiecks, so kann man daraus die Längen sämtlicher Seitenhalbierender bestimmen.

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