Gleichmäßige Konvergenz beweisen

14.09.2011, 20:03

Simon Heiss

Gleichmäßige Konvergenz beweisen

Meine Frage:
Aufgabe ist es, eine Funktionenfolge auf pktw. und glm. Konvergenz zu untersuchen. Ich habe im Grunde schon gezeigt, dass sie pktw. konvergiert und nicht gleichmäßig. Aber irgendwas habe ich falsch gemacht, denn ich habe gleichzeitig auch "gezeigt", dass die Fkt. gleichmäßig konvergiert :/
So siehts aus:
D=[0,1]
$\begin{eqnarray*} f_{n}(x)= \frac{(n^3x^3)}{e^{nx}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Pktw. Konvergenz ist ja recht schnell gemacht. f(x) ist stetig 0. Wenn ich jetzt Xn=1/n setze, wird die Fkt. zu 1/e, was ja größer 0 ist, damit kann die Fkt. nicht glm. konvergieren. Aber, wenn ich den Satz anwende:

$\begin{eqnarray*} | f_{n}(x)-f(x) | \leq a_{n} \end{eqnarray*}$ (an reelle Nullfolge)

Komme ich wieder auf die Form

$\begin{eqnarray*} f_{n}(x)= \frac{(n^3x^3)}{e^{nx}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die Folge nach oben abschätze, also x=1 setze, kommt wieder eine Nullfolge heraus. Und damit konvergiert fn(x) gegen f(x).
Irgendwo habe ich einen dummen Denkfehler und es regt mich auf, weil ich eigentlich erwartet hätte, dass ich mit dem Satz auf einen Widerspruch stoßen würde, da die Folge ja nicht glm. konvergiert.

14.09.2011, 20:40

Keff91

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RE: Gleichmäßige Konvergenz beweisen
Ehrlich gesagt sieht mir das alles ein bisschen unbeholfen aus. Du wirfst ein paar Dinge durcheinander.

Also gleichmäßige Konvergenz von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f \equiv 0 \end{eqnarray*}$ bzgl $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$
gilt ja genau dann wenn
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [0,1]} | f_n(x) - 0 | = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ nimmt sogar sein Maximum auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ an. Du kannst also sup durch
max ersetzen.

D.h. du musst jetzt das Maximum finden und das kriegst du über Ableiten
raus. Es wird sich zeigen, dass das Maximum $\begin{eqnarray*} \frac{27}{e^3} \end{eqnarray*}$ ist
und somit gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [0,1]} | f_n(x) - 0 | \ne 0 \end{eqnarray*}$
also keine gleichmäßige Konvergenz.

14.09.2011, 20:45

Simon Heiss

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Den Satz mit lim sup hab ich noch nie gesehn :/ Aber das macht ein bisschen mehr Sinn. Danke dir, ich glaube ich habs geschnallt!

14.09.2011, 20:53

Keff91

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Zitat:

Original von Simon Heiss
Den Satz mit lim sup hab ich noch nie gesehn :/ Aber das macht ein bisschen mehr Sinn. Danke dir, ich glaube ich habs geschnallt!

Welche Methode hast du dann bisher gelernt? Kann ich die mal sehen? Dann
können wir vllt auch eine Lösung zu deiner Methode formulieren. Freude

14.09.2011, 21:33

Simon Heiss

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Im Grunde sind die Sätze, die wir haben glaube ich äquivalent. Bei uns heisst es:
Sei an eine reelle Nullfolge und $\begin{eqnarray*} | f_{n}(x) - f(x) | \leq a_{n} \forall x \in D \forall n\geq n_{0} \end{eqnarray*}$ , dann konvergiert fn glm auf D. Wenn ich das richtig verstanden habe ist beim Maximum so ein Fall, wo diese Bedingung verletzt wird.

14.09.2011, 21:51

Keff91

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Ja, du findest kein solches $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

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