Umkehrfunktion bilden, wann gehts, wann nicht?

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14.09.2011, 21:16	biba2	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion bilden, wann gehts, wann nicht? Meine Frage: Hallo, versuche mich gerade ins Thema Umkehrfunktionen reinzufuchsen. Meine Ideen: Und weiß jetzt schon, wies an sich geht. Ein Beispiel: y=-2x+3 wäre umgekehrt: $\begin{eqnarray} y=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} x \end{eqnarray}$ Ich weiß ja nun leider nur nicht, wann man das umkehren kann und wann nicht. Bei der nächsten Aufgabe steht jetzt z.B. da hinter: $\begin{eqnarray} y=x^{2} +1, D=\left[0,\infty \right] ,W=\left[1,\infty \right] \end{eqnarray}$ . Inwieweit schränken denn diese beiden gegebenen Bereiche die Umkehrbarkeit ein, bzw. verbieten sie? Hab mehrere Videos bei youtube angeschaut und auchim Buch nachgelesen, aber komme einfach nicht da hinter, wann man umkehren darf und wann nicht... Liebsten Dank im Vorraus, (ohne euch alle hier wäre ich verloren :P)
14.09.2011, 21:31	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie bijektiv ist. Du musst die Funktion also auf bijektivität prüfen.
14.09.2011, 21:37	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Funktion ist nur dann umkehrbar, wenn sie eineindeutig ist. Das bedeutet, dass jedem x genau ein y zugeordnet wird. Nicht mehr und nicht weniger. Beispielweise ist die Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R, x\rightarrow x² \end{eqnarray}$ nicht umkehrbar, da $\begin{eqnarray} (1)~ f(-1)=f(1)=1 \end{eqnarray}$ (1 besitzt mehrere Urbilder) $\begin{eqnarray} (2) f(x)=-1 \end{eqnarray}$ nicht lösbar ist (-1 besitzt kein Urbild) EDIT: Iorek war schneller, bin raus.
21.09.2011, 17:34	biba2	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider sagt mir der Begriff Urbild nichts... Bei der Aufgabe: y=(x+1)^2 Also wie bilde ich da zum einen die Umkehrfunktion und inwieweit geben mir die Angaben: D=(-1, unendlich) W=(0, unendlich) nun irgendwelche Hinweise darauf, ob jedem x genau ein y zugeordnet wird, die Bijektivität also erfüllt ist? Wie prüfe ich allgemein die Bijektivität? Danke für jegliche Hilfe! .
21.09.2011, 18:02	lohrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion Im Schulgebrauch berechnest du Umkehrfunktionen wie folgt: du hast ne funktion f(x) = y gegeben, die du umkehren sollst. Du löst f(x) nach x auf und drückst x durch y aus. In deinem Bsp y = -2x+3 <=> (y-3)/(-2) = x dann vertauschst du die variablen y=f(x)= -x/2 + 3/2. Warum funktioniert das bei y = x^2 +1 nicht? Da z.B. für y= 2, sowohl f(1)=f(-1) =2 ergeben, ist die funktion nicht umkehrbar. Das meinten die Vorgänger mit Injektivität :-). Also schlussendlich ist die funktion einfach nicht umkehrbar
21.09.2011, 19:00	biba2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhhhh, das ist eine SUPER Hilfe danke, hab das Prinzip verstanden! Aber kann man die Bijektivität mit dem Taschenrechner prüfen oder muss man sich das immer überlegen? Bei y=1/3 x^3 da gäbe es ja höchstens 3 Lösungen fürs x, die die Gleichung erfüllen würden. Rechne ich also quasi die Lösungen aus und wenn ich mehr als eine habe, dann gibt es ja für mehrere Werte des Definitionsbereichs nur einen Wert des Wertebereichs? Oder bin ich jetzt zu übereifrig, weil mich dein letzter Beitrag so erleuchtet hat?
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21.09.2011, 19:05	lohrio	Auf diesen Beitrag antworten »
funktionen ungeraden grades wie z.b. 3.-grades in deinem Bsp sind umkehrbar :P. wenn du f(x) = 1/3 *x^3 hast, wirst du kein y=f(x) finden, so dass dies durch 2 verschieden x-werte getroffen wird . Die Funktion ist dann weil jedes y einmal getroffen wird und somit im falle f(a)=f(b) automatisch a = b folgt, nennt man die funktion dann injektiv um deinen wissensdurst etwas zu stillen
21.09.2011, 19:08	biba2	Auf diesen Beitrag antworten »
Heißt das dann automatisch , dass alle Funktionen 2. Grades nicht umkehrbar sind? Wenn ja, was wäre dann der Fall wenn y=x^3+x^2 ? Wenn also in einer Funktion eine gerade und eine ungerade Potenz vorkommt? Danke
21.09.2011, 19:11	lohrio	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du natürlich den definitionsbereich einschränkst auf z.B. alle x größer als der scheitelpunkt ist die funktion auch für geraden Grad umkehrbar im angegebenen definitionsbereich . Ansonsten ist es ne vertretbare aussage, solange natürlich die funktion nur einen grad hat... wenn du fkten verschiedenen grades mischst wird die sache natürlich heikel, was dich aber in der schule nicht betreffen sollte

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