Binomialkoeffizienten vereinfachen

14.09.2011, 20:06

studYY

Binomialkoeffizienten vereinfachen

Guten Abend.

Die Aufgaben:

1. $\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!}{n!} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ n + 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

5. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu 1:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{(n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} {n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Oder müsste der Ansatz lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{(n-1)!}{n!((n-1)-n)!} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für jede Hilfe smile

14.09.2011, 21:07

Pascal95

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Hallo.

Zu 1) Das ist völlig richtig! $\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!}{n!} =\frac1n \end{eqnarray*}$ .

Hast du auch schon Ideen für die anderen Aufgaben ?

14.09.2011, 21:07

weisbrot

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RE: Binomialkoeffizienten vereinfachen
richtig!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{(n-1)!}{n!((n-1)-n)!} \end{eqnarray*}$

was sollte das bringen? hier hättest du im nenner (-1)! , was nicht definiert ist, entsprechend ist diese umformung so nicht korrekt.

17.09.2011, 23:21

studYY

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Vielen Dank.

Zu 2:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ n + 1 \end{pmatrix} =\frac{n!}{(n+1)!(n-(n+1))!} = \frac{n!}{(n+1)!}= \frac{1}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

Zu 3:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ n \end{pmatrix} =\frac{(n+1)!}{n!((n+1)-n)!}= \frac{(n+1)!}{-n!} \end{eqnarray*}$

(n+1)-n ergibt doch -1, oder?

Zu 4:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Wie soll hier jetzt noch vereinfachen?

$\begin{eqnarray*} = 2 (\frac{n!}{k!(n-k)!}) \end{eqnarray*}$
So?

Zu 5:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} + \frac{(n-1)!}{k!((n-1)-k)!} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!(k-n+1)!} \end{eqnarray*}$

Hier weiß ich nicht mehr weiter.
Hat jemand vielleicht einen Tipp?
Und ist das bis dahin überhaupt richtig?

Danke für jede Hilfe. smile

18.09.2011, 07:25

Math1986

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RE: Binomialkoeffizienten vereinfachen
...

18.09.2011, 07:30

Math1986

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Zitat:

Original von studYY

Zu 3:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ n \end{pmatrix} =\frac{(n+1)!}{n!((n+1)-n)!}= \frac{(n+1)!}{-n!} \end{eqnarray*}$

(n+1)-n ergibt doch -1, oder?

Nein, deine erste Lösung war richtig:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!}{n!} =\frac1n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von studYY
$\begin{eqnarray*} = 2 (\frac{n!}{k!(n-k)!}) \end{eqnarray*}$
So?

Ja, und den Term rechts kannst du wieder als Binomialkoeffizienten schreiben.
Generell ist:
$\begin{eqnarray*} \binom nk=\binom{n}{n-k} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von studYY
Zu 5:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} + \frac{(n-1)!}{k!((n-1)-k)!} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!(k-n+1)!} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie du auf die letzte Umformung kommst:
$\begin{eqnarray*} (n-1)-k\neq k-n+1 \end{eqnarray*}$

18.09.2011, 08:56

studYY

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Danke, dass du dir Zeit genommen hast Math1986.

Nochmal zu 3:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ n \end{pmatrix} =\frac{(n+1)!}{n!((n+1)-n)!}= \frac{(n+1)!}{n!(n+1-n)!} = \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1) ... 3\cdot2\cdot1 }{n \cdot (n-1)... 3\cdot2\cdot1} = n + 1 \end{eqnarray*}$

Zu 5:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} + \frac{(n-1)!}{k!((n-1)-k)!} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} \end{eqnarray*}$

Kann man hier etwas ausklammern?

18.09.2011, 12:08

Math1986

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Zitat:

Original von studYY
Nochmal zu 3:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ n \end{pmatrix} =\frac{(n+1)!}{n!((n+1)-n)!}= \frac{(n+1)!}{n!(n+1-n)!} = \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1) ... 3\cdot2\cdot1 }{n \cdot (n-1)... 3\cdot2\cdot1} = n + 1 \end{eqnarray*}$

Richtig

Zitat:

Ja, versuch mal beides auf den selben Nenner zu bringen.

18.09.2011, 14:26

studYY

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Tur mir Leid Math, aber ich kann hier nichts ausklammern.

Kannst du mir bitte einen Tipp geben?

18.09.2011, 14:36

Math1986

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Zitat:

Original von studYY
Tur mir Leid Math, aber ich kann hier nichts ausklammern.

Kannst du mir bitte einen Tipp geben?

Erweitere den linken Summanden mit k, und den rechten mit (n-k).
Dann kannst du beide auf einen Bruch bringen.

18.09.2011, 15:08

studYY

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$\begin{eqnarray*} \frac{k(n-1)!}{k(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-k)(n-1)!}{(n-k)k!(n-1-k)!} \end{eqnarray*}$

.. Ach, ich geb's auf. Die Aufgabe ist zu schwer.
Die anderen Aufgaben habe ich ja mit dir geschafft, das reicht.

Vielen Dank für deine Hilfe Math1986 smile

Schönen Sonntag Augenzwinkern

18.09.2011, 15:14

Math1986

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Zitat:

Original von studYY
$\begin{eqnarray*} \frac{k(n-1)!}{k(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-k)(n-1)!}{(n-k)k!(n-1-k)!} \end{eqnarray*}$

.. Ach, ich geb's auf. Die Aufgabe ist zu schwer.
Die anderen Aufgaben habe ich ja mit dir geschafft, das reicht.

Schön dranbleiben, ist doch richtig soweit!

Nun noch den Nenner vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} \frac{k(n-1)!}{k(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-k)(n-1)!}{(n-k)k!(n-1-k)!} =\frac{k(n-1)!}{k!(n-k)!} + \frac{(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$
und schon haben beide Brüche den selben Nenner!

Nun bist du schon kurz davor, nur noch beides addieren und vereinfachen.

18.09.2011, 16:11

studYY

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Das ist mein letzter Verusch, ich kann diesen blöden Zähler einfach nicht mehr sehen,
unglaublich wie aggressiv und verzweifelt einen ein Bruch machen kann böse

$\begin{eqnarray*} \frac{k(n-1)! + (n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Wenn ich ausmultipliziere komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} (kn-k)! + (n^2-n-kn+k)! \end{eqnarray*}$

Ich weiß zwar nicht, ob ich es darf und wenn ich es darf weiß ich nicht warum, aber ich fasse hier einfach mal zusammen:

$\begin{eqnarray*} n^2-n = n(n-1)! = n! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!(n-k)! }=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das stimmt.

Vielen Dank für deine Geduld Math1986, ohne dich wäre ich nicht weitergekommen.

18.09.2011, 17:46

Math1986

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Zitat:

Original von studYY
Das ist mein letzter Verusch, ich kann diesen blöden Zähler einfach nicht mehr sehen,
unglaublich wie aggressiv und verzweifelt einen ein Bruch machen kann böse

$\begin{eqnarray*} \frac{k(n-1)! + (n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist es richtig, danach wirds falsch unglücklich

Es ist
$\begin{eqnarray*} k(n-1)! + (n-k)(n-1)!=(k + (n-k))(n-1)! \end{eqnarray*}$
Mach so mal weiter

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