Laurentreihe

15.09.2011, 02:55

Grouser

Laurentreihe

Man entwickle die durch $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{z}{z^2+1} \end{eqnarray*}$ definierte Funktion in

$\begin{eqnarray*} \mathcal{R} = \{z \in \mathbb{C} | 0 < |z-i|<2 \} \end{eqnarray*}$

in eine Laurentreihe.

Meine Ideen hierzu:

Partialbruchzerlegung ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{z^2+1} = \frac{1}{2} \frac{1}{z-i} + \frac{1}{2} \frac{1}{z+i} \end{eqnarray*}$

Betrachten wir nun zunächst den letzten Summanden

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{1}{z+i} = \frac{1}{2} \frac{1}{2i + (z-i)} = \frac{1}{4i} \frac{1}{1+\frac{z-i}{2i}} \overset{(*)}{=} \frac{1}{4i} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left( \frac{z-i}{2i} \right) ^n = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(z-i)^n}{(2i)^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Und damit

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{2} \frac{1}{z-i} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(z-i)^n}{(2i)^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Damit hätten wir dann auch direkt gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} z=i \end{eqnarray*}$ einen Pol erster Ordnung aufweist.

Ist das so korrekt?

PS: An der Stelle (*) nutze ich maßgeblich, dass $\begin{eqnarray*} 0 < |z-i| < 2 \end{eqnarray*}$ gilt.

15.09.2011, 20:13

gonnabphd

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Der Weg sieht gut aus. Die i's lässt man allerdings normalerweise nicht im Nenner stehen.

Also bis auf das Vereinfachen denke ich, das sollte korrekt sein. smile