Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung

15.09.2011, 10:00

lukas1989

Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung

Meine Frage:
Ich suche die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} y''(x) + 2y'(x) + 2y(x) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe schon die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmt, nämlich $\begin{eqnarray*} -1 \pm i \end{eqnarray*}$ , jeweils mit algebraischer Vielfachheit 1. Ab hier weiß ich nicht mehr weiter. In meiner Lösung steht "Wir erhalten damit als Basis des zweidimensionalen Lösungsraums: $\begin{eqnarray*} \left\{e^{-x}sin(x), e^{-x}cos(x)\right\} \end{eqnarray*}$ ". Allerdings verstehe ich nicht, wie man auf diese Lösung kommt. Könnte mir da jemand helfen?

Danke schonmal!

15.09.2011, 10:10

Cel

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Hallo lukas,

denk mal an die Euler'sche Relation. Welchen Ansatz für die Lösung machst du denn mit diesen Nullstellen?

15.09.2011, 10:10

klarsoweit

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
Die allgemeinen Lösungen sind erstmal: $\begin{eqnarray*} \left\{e^{(-1+i)x}, e^{(-1-i)x}\right\} \end{eqnarray*}$

Will man reellwertige Lösungen haben, so kombiniert man: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2i} \cdot (e^{(-1+i)x} - e^{(-1-i)x}) \end{eqnarray*}$

Das liefert die Lösung mit dem sin(x).
Analog bekommt man die Lösung mit dem cos(x).

EDIT: Cel war schneller. traurig

16.09.2011, 09:56

lukas1989

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung

Zitat:

Original von klarsoweit
Die allgemeinen Lösungen sind erstmal: $\begin{eqnarray*} \left\{e^{(-1+i)x}, e^{(-1-i)x}\right\} \end{eqnarray*}$

Will man reellwertige Lösungen haben, so kombiniert man: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2i} \cdot (e^{(-1+i)x} - e^{(-1-i)x}) \end{eqnarray*}$

Das liefert die Lösung mit dem sin(x).
Analog bekommt man die Lösung mit dem cos(x).

EDIT: Cel war schneller. traurig

Hallo, erstmal Danke für die Antwort!

jetzt verstehe ich glaube ich das "Kochrezept" in meinem Skript. Eigentlich hat man durch die zwei Nullstellen mit algebraischer Vielfachheit 1 vier Beiträge zur Lösung (nämlich $\begin{eqnarray*} y_{1} = c_{1}e^{-x}cos(x), y_{2} = c_{2}e^{-x}sin(x), y_{3} = c_{3}e^{-x}cos(-x), y_{4} = c_{4}e^{-x}sin(-x) \end{eqnarray*}$ ), diese kann man jedoch zu zwei Formeln kombinieren ( $\begin{eqnarray*} \tilde y_{1} = \tilde c_{1} e^{-x}cos(x) \mbox{ wobei } \tilde c_{1} = c_{1} + c_{3} \mbox{ und } \tilde y_{2} = \tilde c_{2} e^{-x}sin(x) \mbox{ wobei } \tilde c_{2} = c_{2} - c_{4} \end{eqnarray*}$ ).

Stimmt das so?

16.09.2011, 11:37

klarsoweit

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
Nein, man hat nur 2 linear unabhängige Lösungen, die man so kombiniert, daß 2 reellwertige Lösungen rauskommen.

16.09.2011, 15:24

lukas1989

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung

Zitat:

Original von klarsoweit
Nein, man hat nur 2 linear unabhängige Lösungen, die man so kombiniert, daß 2 reellwertige Lösungen rauskommen.

OK, ich scheine das Ganze ja überhaupt nicht verstanden zu haben. Wie kommt man jetzt von den Nullstellen auf die Lösungen? Im Netz finde ich leider nur Theoretisches, ich brauche aber vor allem Beispiele...

16.09.2011, 15:30

klarsoweit

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
Verstehe die Frage jetzt nicht. Ist lambda eine einfache Nullstelle, dann ist $\begin{eqnarray*} e^{\lambda \cdot x} \end{eqnarray*}$ eine Lösung. Das gilt unabhängig davon, ob lambda komplex ist oder nicht.

16.09.2011, 15:55

lukas1989

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
OK, also finde ich zwei Lösungen, nämlich $\begin{eqnarray*} e^{(-1 + i)x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{(-1 - i)x} \end{eqnarray*}$ . Aber die müssen ja jetzt noch irgendwie kombiniert werden, damit man das in Sinus- bzw. Kosinusform bringen kann. Frage: wie?

16.09.2011, 16:22

klarsoweit

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
So:

Zitat:

Original von klarsoweit
Will man reellwertige Lösungen haben, so kombiniert man: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2i} \cdot (e^{(-1+i)x} - e^{(-1-i)x}) \end{eqnarray*}$

16.09.2011, 16:28

lukas1989

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
Sorry, das verstehe ich nicht. Das ist ja keine Lösungsformel: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2i} \cdot (Loesung_{1} - Loesung_{2}) \end{eqnarray*}$ .

Wieso kombiniert man genau so und nicht irgendwie anders, und wieso kombiniert man nicht nur so, sondern auch noch so, dass eben die andere Lösung herauskommt?

16.09.2011, 16:40

klarsoweit

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
Wir sind uns doch einig, daß ich Lösungen beliebig kombinieren darf? Also mach ich das mal so, wie ich gepostet habe. Warum, kann doch eigentlich egal sein, außer daß man vielleicht eine reelle Lösung haben möchte.

16.09.2011, 16:58

lukas1989

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
OK. Das ist also so etwas, was man "sehen" muss. Nochmal kurz zur Erinnerung: ich darf Lösungen addieren und mit Konstante multiplizieren (aber z.B. nicht Lösungen multiplizieren), richtig?

16.09.2011, 17:06

klarsoweit

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
Ja.

16.09.2011, 17:31

lukas1989

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja.

Super, dann vielen Dank! smile

17.09.2011, 17:53

klarsoweit

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung

Zitat:

Original von lukas1989
Wieso kombiniert man genau so und nicht irgendwie anders, und wieso kombiniert man nicht nur so, sondern auch noch so, dass eben die andere Lösung herauskommt?

Um das nicht ganz unbeantwortet zu lassen. Man beachte gewisse Regeln für komplexe Zahlen, wie:

1. $\begin{eqnarray*} \overline{e^z} = e^{\overline z} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} Re(z) = \frac 1 2 \cdot (z + \overline z) \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} Im(z) = \frac{1}{2i} \cdot (z - \overline z) \end{eqnarray*}$

Diese werden im Grunde auf die Lösungsfunktionen angewendet.

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