Gleichung lösen

15.09.2011, 12:11

spike1302

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Gleichung lösen

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x-3} - \frac{36}{x^2-9} = 2 - \frac{x-3}{x+3} \end{eqnarray*}$

Ich habe mir überlegt den gemeinsamen Hauptnenner zu finden, sprich:
$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x-3} \end{eqnarray*}$ | *(x+3)

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+6}{x^2-9} - \frac{36}{x^2-9} = ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 - \frac{x-3}{x+3} \end{eqnarray*}$ | *(x-3)

$\begin{eqnarray*} ... =2 - \frac{x^2+6}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+6}{x^2-9} - \frac{36}{x^2-9} = 2 - \frac{x^2+6}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt hätte ich halt | * x²-9 und weiter gerechnet.

Jedoch komme ich zu keinem gescheiten Ergebnis. Ist diese Vorgehensweise korrekt oder bullshit?

An sich sah die Gleichung gleich wie eine Binomische Formel aus, doch ich bin mir nicht sicher.

Gruß

15.09.2011, 12:19

Equester

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Dir Idee ist richtig, die Umsetzung ist jedoch falsch.

Schau mal au der linken Seite, hast du den ersten Bruch mit (x+3) erweitert.
Doch oben falsch zusammengefasst! Im Zähler steht (x+3)(x+3)=(x+3)²=

15.09.2011, 12:31

spike1302

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Hallo,
ich trottel-.-

natürlich muss es x² + 9 heißen.

Sonst hat es gepasst? auch dass ich auf der rechte seite den hauptnenner gesucht habe oder war das nicht relevant?

Gruß

15.09.2011, 12:36

Equester

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Ist immer noch falsch.
Es greift doch der 1ste Binomi Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie lautet der?

Rechts hast du den gleichen Fehler gemacht, auch wenns da um den 2ten Binomi geht.

Kannst du mir mal alle drei aufschreiben? Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2011, 12:46

spike1302

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Hallo,
jetzt wo du es sagst, ich kann 1. und 2. binom nehmen:
(a+b)²
(a-b)²

Ich rechne mal von vorne und schreibe gleich hier rein smile

smile

Danke.

15.09.2011, 12:56

spike1302

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Also wie folgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+6x-27}{x^2-9} = 2 - \frac{x^2-6x+9}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

Das sieht schonmal stark nach einer quadratischen Gleichung, aber erst müsste ich den Bruchstrich entfernen und *x²-9 machen?

muss auch alles auf eine Seite um es 0 zu setzen?
Noch bin ich ratlos.

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15.09.2011, 13:01

Equester

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So wies jetzt da steht ists richtig Freude

Freude

Nun wie du weiter vorgehst ist prinzipiell egal.
Vllt bringst du die 2 auch noch auf den Hauptnenner? Dann kannst du mit diesem
multiplizieren und der "fällt einfach weg" Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

17.09.2011, 13:51

spike1302

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Hallo,
ich poste hiermnal mein Rechenweg + Ergebnis.
Mich verwundert jedoch nur, dass wenn ich für x irgendeine Zahl z.B 185 eingebe, es immer auf beiden Seiten stimmt, schon komisch.
Dem nach müsste die Aufgabe unendlich viele Lösungen haben, ich komme aber nur auf eine.

Hier der Rechenweg, bitte bewerten:
$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x-3}-\frac{36}{x^2-9}=2-\frac{x-3}{x+3} \end{eqnarray*}$ || vorne *(x+3); hinten *(x-3)

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+9-36}{x^2-9}=2-\frac{x^2+9}{x^2-9} \end{eqnarray*}$ || $\begin{eqnarray*} +\frac{x^2+9}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2 -18}{x^2-9}=2 \end{eqnarray*}$ || * (x²-9)

$\begin{eqnarray*} 2x^2 -18*(x²-9)=2*(x^2-9) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -16x^2+162=2x^2-18 \end{eqnarray*}$ || -2x²; -162

$\begin{eqnarray*} -18x^2=-180 \end{eqnarray*}$ || :(-18)

$\begin{eqnarray*} x^2=10 \end{eqnarray*}$ || $\begin{eqnarray*} \sqrt{} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=3,16 \end{eqnarray*}$

Was sagt ihr dazu, hättet ihr es anders gemacht oder genauso?

Gruß

17.09.2011, 16:59

Equester

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Schon die zweite Zeile stimmt bei dir nicht mehr.
Das hatten wir oben doch schon besprochen.
Schau dir noch mals die linke Seite an! Wir haben doch den ersten Binomi im Zähler Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das war vorher unser Zwischenergebnis:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+6x-27}{x^2-9} = 2 - \frac{x^2-6x+9}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

Da wollte ich nur noch, dass du bei der zwei den Nenner angleichst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Dem nach müsste die Aufgabe unendlich viele Lösungen haben,

Das ist richtig und müssen wir nur noch verifizieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.09.2011, 09:07

spike1302

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Hallo,
ja wir hatten oben schon einmal das Binom gehabt, doch diesen schritt habe ich ausgelassen, denn ich habe beides mal gemacht.
mit binom und so wie ich gerade erklärt habe.

mit dem Binom habe ich zwei Schritte später den gleichen term gehabt, deswegen habe ich es gleich so gemacht.

doch warum soll die gleichung falsch sein?
Danke für antworten.

Gruß

18.09.2011, 11:19

Equester

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Zitat:

Original von spike1302

Hier der Rechenweg, bitte bewerten:
$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x-3}-\frac{36}{x^2-9}=2-\frac{x-3}{x+3} \end{eqnarray*}$ || vorne *(x+3); hinten *(x-3)

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+9-36}{x^2-9}=2-\frac{x^2+9}{x^2-9} \end{eqnarray*}$ || $\begin{eqnarray*} +\frac{x^2+9}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

Nein, das stimmt nicht, du hast den Binomi nicht beachtet!
Du sagst bei deiner Rechnung hier (x+3)(x+3)=x²+9.
Wir hatten aber schon davor gesagt, dass dies falsch ist!!!
(x+3)(x+3)=x²+6x+9

Davon dann die 36 noch abgezogen (vom zweiten Bruch) und wir haben
x²+6x-27!!

Schau nochmals nach. Rechte Seite ist natürlich auch falsch :P Gleicher Fehler...

18.09.2011, 15:16

spike1302

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Du hast natürlich vollkommen recht. mein Fehler.
Mich hat es nur gewundert, dass komischerweise genau das gleiche rausgekommen ist.

ich mache es nochmal smile

smile

18.09.2011, 15:32

Equester

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Ja, melde dich dann mit deinem neuen Versuch!
Beachte dabei das Gesagte Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.09.2011, 16:14

spike1302

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Hallo,
hier meine Ergebnisse:
L={3,16;-3,16,3;-3} -> siehe unten

wie jedoch schonmal gesagt, kann man für x alle zahlen einsetzen, es kamen auf beiden Seiten immer das Gleiche heraus.

Hier der Rechenweg: (ein wenig lang )

$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x-3}-\frac{36}{x^2-9}=2-\frac{x-3}{x+3} \end{eqnarray*}$ || vorne *(x+3); hinten *(x-3)

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-27}{x^2-9}=2-\frac{x^2+9}{x^2-9} \end{eqnarray*}$ || rechte Seite auf linke Seite bringen -> $\begin{eqnarray*} +\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2-18}{x^2-9}=2 \end{eqnarray*}$ || *(x²-9)

$\begin{eqnarray*} (2x^2-18)*(x²-9)=2*(x^2-9) \end{eqnarray*}$ || ausklammern

$\begin{eqnarray*} 2x^4-36x^2+162=2x^2-18) \end{eqnarray*}$ || :2; dann -x²; dann +9

$\begin{eqnarray*} x^4-19x^2+90=0 \end{eqnarray*}$ || Mitternachtsformel mit Substitution (x²=u)
.
.
.
x1=10
x2=9

Re-Substitution:
x²=10 ||wurzel
x1,2= +/- 3,16

x²=9 ||wurzel
x3,4= +/- 3

L={3,16;-3,16,3;-3}

Ist das so korrekt? würdest du es anders machen?

Gruß

18.09.2011, 16:18

Equester

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Sry, schon in der zweiten Zeile fängts wieder an. Obwohl schonmal richtig hier im Thread.

Machen wir mal diese zwei Zeilen nochmals gemeinsam?

Wir haben:
$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x-3}-\frac{36}{x^2-9}=2-\frac{x-3}{x+3} \end{eqnarray*}$

Wir erweitern der ersten Bruch links mit (x+3) und den zweiten Bruch rechts mit (x-3)

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3))}-\frac{36}{x^2-9}=2-\frac{(x-3)(x-3)}{(x+3)(x-3)} \end{eqnarray*}$

Mach mal da weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mach aber nicht weiter...ich will erst kontrollieren und dir weitere unnötige Arbeit ersparen Big Laugh

Big Laugh

18.09.2011, 16:38

spike1302

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Hallo,
ähm in meinem Heft habe ich es richtig:P
habe hier eine Zeile vergessen, bzw. falsch geschrieben/kopiert.

2. Zeile muss wie folgt heißen (sprich deins, also das binom, ausgeklammert)

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+6x-27}{x^2-9}=2-\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} \end{eqnarray*}$ || rechte Seite auf linke Seite bringen -> $\begin{eqnarray*} +\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

und dann geht es weiter mit

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2-18}{x^2-9}=2 \end{eqnarray*}$ ...

18.09.2011, 16:40

Equester

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k gut^^

Dein Edit ist nur bis zur Zeile richtig die du auch gerade genannt hast.

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2-18}{x^2-9}=2 \end{eqnarray*}$

Jetzt überleg nochmals, was du dann im weiteren Verlauf falsch gemacht hast! :P

18.09.2011, 16:43

spike1302

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ernsthaft es ist falsch?

mhh

ich wollte wie gesagt wie x²-9 unterm bruchstrich weghaben und habe somit die ganze gleich *x²-9 genommen.

ich schau mal was falsch sein könnte?!..

gruß

18.09.2011, 16:45

Equester

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Zitat:

ich wollte wie gesagt wie x²-9 unterm bruchstrich weghaben und habe somit die ganze gleich *x²-9 genommen.

Wenn du tun würdest, was du sagst, könnte ich dir mein Häcken geben Big Laugh

Big Laugh

Tipp:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}*x=? \end{eqnarray*}$

18.09.2011, 16:51

spike1302

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Ich trottel-.-
was 7 Jahre kein Mathe ausmacht...

ich rechne es durch und melde mich gleich wieder.

18.09.2011, 16:51

Equester

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Big Laugh

Nur langsam Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.09.2011, 17:05

spike1302

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$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2-18}{x^2-9}=2 \end{eqnarray*}$ || * (x²-9)

$\begin{eqnarray*} 2x^2-18=2x^2-18 \end{eqnarray*}$
x=x -> L={alle Zahlen} (gibt es hier nen Zeichen für alle Zahlen?)

Ist das so korrekt? Würde auch mit dem Übeeinstimmen was ich schon sagte, dass alle Zahlen eingesetzt werden können.

18.09.2011, 17:11

Equester

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Yep, nun ists richtig -> Mein Häckchen $\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$

Nun du kannst einfach sagen, x€R Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beachte aber den Definitionsbereich! Da werden Zahlen ausgeschlossen, nämlich welche?

18.09.2011, 17:14

spike1302

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alle zahlen im negativen bereich,

doch wenn ich eine negative zahle quadriere ist sie positiv, also müssten auch die negativen Zahlen in die Lösung eingehen?!

18.09.2011, 17:15

Equester

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Warum sollten die negativen Zahlen ausgeschlossen sein verwirrt

verwirrt

Nein die sind es nicht. Nur eine davon^^ Welche?
Und welche noch? Warum?

18.09.2011, 17:19

spike1302

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stimmt, mein fehler-.-
reelle Zahlen schließt alles ein (positiv, negativ, kommastellen, unendlich etc).

doch welche zahlen davon nicht, kann ich dir nicht sagen,

ich versuche mal im Netz etwas heruaszubekommen.

18.09.2011, 17:21

Equester

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Könntest mich auch nach nem Tipp fragen. Bin da zumeist recht spendabel Big Laugh

Big Laugh

Auch wenn dich dein Engagement ehrt^^

Tipp1: Man darf nicht durch 0 teilen!

18.09.2011, 17:26

spike1302

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achso, ja das ist mir bewusst,

doch dann ist die Lösung x€R nicht ganz korrekt, man darf z.b die 3 oder -3 nicht mitangeben, da es sonst /0 teilen ist.

doch soll man das wirklich so hinschreiben oder reicht ein einfach x€R als Lösungsbereich?

18.09.2011, 17:27

Equester

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Letzteres würde ja nicht stimmen! Wenn du den Definitionsbereich nicht angegeben hast,
dann ist jetzt der Zeitpunkt das zu vermerken! x=-3 und x=3 sind nicht erlaubt Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.09.2011, 17:33

spike1302

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ok also:
$\begin{eqnarray*} L=(xER | x\neq 3,-3) \end{eqnarray*}$ ()={}

Danke dir vielmals Equester

18.09.2011, 17:43

Equester

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Yup genau, aber in der Klammer schreibt man x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ {-3;3} Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gerne

Wink

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