Majorisierte Konvergenz

15.09.2011, 13:34

JIL_2

Majorisierte Konvergenz

Meine Frage:
Sei f:[0,\pi]-->C Lebesgue integrierbar.
Berechne mit Satz von der majorisierten Konvergent.
$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \! sin^n (x) f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Hinweis: betrachte g_n(x)=sin^n(x)f(x) auf [o,pi]

Meine Ideen:
kann mir irgendjemand bei dieser aufgabe behilflich sein. Ich habe absolut gar keine ahnung.

15.09.2011, 14:15

Cel

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Hallo, was sagt denn der Satz aus? Was musst du machen bzw. finden, um dann was machen zu dürfen?

Wikipedia ist dein Freund! Augenzwinkern

15.09.2011, 16:53

tmo

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Völlig unabhängig von einer etwaigen Lösung glaube ich nicht, dass ihr

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \sin^n(x)f(x)dx \end{eqnarray*}$ berechnen sollt. Das wird im Allgemeinen nicht weiter zu vereinfachen sein.

Es handelt sich wohl eher um

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \int_0^\pi \sin^n(x)f(x)dx \end{eqnarray*}$

15.09.2011, 20:12

Cel

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Ah, ja. Natürlich. Interessant. Man liest immer das, was man lesen will und tatsächlich habe ich vor meinem geistigen Auge den Limes gesehen. Big Laugh

18.06.2015, 12:09

Disney24

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Hallo

ich brauche Hilfe zu der obigen Aufgabe von 2011.
ich habe dort auch keinen Ansatz.
Ich habe den Satz von der majo. Konvergenz durchgelesen auf Wikipedia, aber bringt mir auch nicht viel.

Ich hoffe man kann mir hier helfen.
Habe mich schon gefreut, dass die Aufgabe online zufinden ist, aber leider hat derjenige nicht weiter gefragt vor 4 Jahren verwirrt

18.06.2015, 13:20

HAL 9000

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Dann fangen wir doch damit an: Was ist der punktweise Limes von $\begin{align*} g_n(x)=\sin^n(x)f(x) \end{align*}$ für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} g(x):=\lim_{n\to\infty} g_n(x) \end{align*}$ ?

Zur Anregung plotte ich mal $\begin{align*} \sin^n(x) \end{align*}$ für $\begin{align*} n=1,2,5,20,100 \end{align*}$ im betreffenden Intervall:

18.06.2015, 13:51

Disney24

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Danke für deine Antwort. hätte nicht gedacht, dass ich bei der ersten Frage schon Probleme haben würde. ^^

ich weiß jetzt nicht wie ich den punktweisen Limes berechnen würde, aber man kann ja schonmal festhalten, dass der Sinus beschränkt ist. Laut dem Plot würde ich den Limes bei 0 bis 1 schätzen .
ich hoffe, dass es nicht ganz falsch ist.. geschockt

18.06.2015, 14:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Disney24
Laut dem Plot würde ich den Limes bei 0 bis 1 schätzen .

Eine Politikerantwort: Richtig, aber absolut nichtssagend, null informativ. unglücklich

Ok, reden wir nicht um den heißen Brei: Basierend auf

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \sin^n(x) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; x=\frac{\pi}{2} \\ 0& \;\mbox{sonst (!!!)} \end{cases} \end{align*}$ .

(das sollte dir eigentlich die Skizze sagen!) ist der gesuchte punktweise Limes gleich

$\begin{align*} g(x) = \begin{cases} f(x) & \;\mbox{für}\; x=\frac{\pi}{2} \\ 0& \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$ .

(Selbstredend bezieht sich "sonst" nur auf die anderen Punkte des Intervalls $\begin{align*} [0,\pi] \end{align*}$ , und nicht etwa auf ganz $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ .)

18.06.2015, 15:16

Disney24

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Ok danke