Exponentialfunktion

15.09.2011, 14:08

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

Exponentialfunktion

Meine Frage:
Die Strahlenbelastung von Pilzen im Umkreis des Tschernobyl-Reaktors in der Ukraine ist auch viele Jahre nach dem Reaktorunfall von 1986 noch hoch. Pilze aus dieser Region, die im Jahr 2007 untersucht wurden, hatten eine Cäsium-137_Aktivität von 100 000 Bq pro Kilogramm, obwohl die halbwertszeit von Cäsium-137 nur ca. 30 Jahre beträgt.
bestimme eine Funktion, mit der sich die Aktivität in Abhängigkeit von der Zeit ( in Jahre ) berechnen lässt.
Wie groß ist die jährliche prozentuale Abnahme der Aktivität?

INFO: Die Aktivität radioaktiver Substanzen wird in Bq gemessen. Eine Cäsium-137-Aktivität von 100 000 Bq bedeutet: Im MIttel zerfallen in der betrachteten Stoffmenge ( z.B. Pilze 1kg) pro Sekunde 100 000 Cösuim-137-Kerne.

Meine Ideen:
Ich habe schonmal erwas versucht . ich bin mir aber nicht sicher, da mich das mit der halbwertszeit verwirrt.

Mein Ansatz:
100 000-100 000*(30/100)=70 000

f(x)=100 000*(0,3)^x

15.09.2011, 14:36

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
100 000-100 000*(30/100)=70 000

f(x)=100 000*(0,3)^x

Wenn die Zahl 30 da oben die Halbwertszeit sein soll, bist Du in der Tat etwas verwirrt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nach Deiner Formel sinkt der Wert jedes Jahr auf 30 Prozent.

30 Jahre Halbwertszeit bedeutet aber, daß der Wert nach 30 Jahren auf 50 Prozent sinkt. Kannst Du ausrechnen, auf wieviel er dann pro Jahr sinkt?

Viele Grüße
Steffen

15.09.2011, 14:41

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
also waren dass dann
100 000-100 000*(50/100)=50 000

f(x)=100 000*(1,5)^x

15.09.2011, 14:50

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
f(x)=100 000*(1,5)^x

Äh, nein. Eine 1,5 bedeutet jedes Jahr 50 Prozent mehr, in dem Fall wäre wohl nie ein Atomkraftwerk gebaut worden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du suchst statt der 1,5 eine Zahl, mit der $\begin{eqnarray*} f(30)=50000 \end{eqnarray*}$ wird. Weil x ja die Jahre sind, und nach 30 Jahren nur noch die Hälfte da sein soll.

Viele Grüße
Steffen

15.09.2011, 15:00

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
hmm.
ja also
nach 30 jahren sind von den 100% nur noch 50% .
also 30=50%

hmm aber jetzt weiß ich nciht wie ich ein jahr ausrechen soll. mit dem dreisatz. aber ich weiß nciht was ich jettz für zahlen nehmen muss

15.09.2011, 15:10

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
hmm aber jetzt weiß ich nciht wie ich ein jahr ausrechen soll.

Das kriegen wir schon hin.

Du hast ja schon mit dem richtigen Ansatz

$\begin{eqnarray*} f(x)=100 000 \cdot a^x \end{eqnarray*}$

angefangen.

Wie gesagt: Du suchst ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , mit dem sich $\begin{eqnarray*} f(30)=50000 \end{eqnarray*}$ ergibt. Setz mal ein und form um.

Viele Grüße
Steffen

Anzeige

15.09.2011, 15:14

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
aslo

30=50 000*a^x

-49970=a^x

jetzt weiß ich abe nicht wie ich weiter machen soll, da ich wegen dem - ja keine wurzel ziehen kann.

15.09.2011, 15:34

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
30=50 000*a^x

Noch nicht ganz. Wir haben

$\begin{eqnarray*} f(x)=100 000 \cdot a^x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(30)=50000 \end{eqnarray*}$

Das heißt ja, wenn Du für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ den Wert 30 einsetzt, bekommst Du für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ den Wert 50000. Wie muß die Gleichung also aussehen?

Viele Grüße
Steffen

15.09.2011, 15:37

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
F(x)=50 000*a^30

15.09.2011, 15:45

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
F(x)=50 000*a^30

Fast. Jetzt hast Du aber die Funktion verändert.

Schreib mal einfach bei $\begin{eqnarray*} f(x)=100 000 \cdot a^x \end{eqnarray*}$ für das $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ die Zahl 50000 (denn das ist der Wert, den f(30) annimmt) und dann für das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Zahl 30.

Und dann knack die Gleichung.

Viele Grüße
Steffen

15.09.2011, 15:51

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
also

50 000= 100 000*a^30
so?

15.09.2011, 15:52

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
50 000= 100 000*a^30

Genau. Jetzt rechne nur noch a aus, dann hast Du's.

Viele Grüße
Steffen

15.09.2011, 15:57

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
ich komme nur so weit

-50 000=a^30

aber ich verstehe nicht wie man da rauf kommt mit den 50 000 und 30

15.09.2011, 16:03

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
-50 000=a^30

Hm. Formst Du

$\begin{eqnarray*} 50000= 100000 \cdot x \end{eqnarray*}$

auch zu

$\begin{eqnarray*} -50000= x \end{eqnarray*}$

um? Erkennst Du Deinen Fehler? Wie geht es richtig?

Viele Grüße
Steffen

15.09.2011, 16:09

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
50 000= 100 000*a^30 /- 100 000
-50 000= a^30

so habe ich das gemacht nach a auflösen

???

15.09.2011, 16:17

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
so habe ich das gemacht

Ich weiß. Aber es geht nicht so.

Du darfst bei

$\begin{eqnarray*} a = b + c \end{eqnarray*}$

gerne auf beiden Seiten b abziehen, um nach c aufzulösen:

$\begin{eqnarray*} a - b = c \end{eqnarray*}$

Aber nicht, wenn da, wie in unserer Gleichung, ein Malpunkt steht! Da mußt Du auf beiden Seiten durch b dividieren:

$\begin{eqnarray*} a = b \cdot c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \frac a b = c \end{eqnarray*}$

Also ran an die Gleichung.

Viele Grüße
Steffen

15.09.2011, 16:23

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
aslo wären das dann

50000/100000=a^30

oder

0,5=a^30

muss ich jetzt die wurzel ziehen?

15.09.2011, 16:27

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
0,5=a^30

Ja!

Zitat:

muss ich jetzt die wurzel ziehen?

Ja. Die dreißigste. Laß den Taschenrechner glühen.

Viele Grüße
Steffen

15.09.2011, 16:30

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
also wenn ich die wurzel aus 0,5 nehme kommt 0,707
raus also a =0,707?

15.09.2011, 16:33

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
sry ich meine da kommt a= 0,977 raus

15.09.2011, 16:38

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
da kommt a= 0,977 raus

Richtig. Wenn Du jetzt f(x) vollständig hinschreibst, ist die Aufgabe fast fertig, bis auf die kleine Frage:

Zitat:

Wie groß ist die jährliche prozentuale Abnahme der Aktivität?

Aber das ist ja dann ein Klacks.

Viele Grüße
Steffen

15.09.2011, 16:40

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
also ich habe da mal eine frage. also mann konnte das eine jahr gar nciht im dreisatz ausrechnen?

15.09.2011, 16:42

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
F(1)=97700

15.09.2011, 16:47

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
mann konnte das eine jahr gar nciht im dreisatz ausrechnen?

Nein, Dreisatz geht nur bei linearen Funktionen.

Auf das Beispiel angewendet, wären die 100000 in den 30 Jahren gleichmäßig auf die 50000 abgesunken (also jedes Jahr etwa 1666 weg). Das tun sie bei radioaktivem Zerfall aber leider nicht, sonst wäre auch nach 60 Jahren nichts mehr da.

Viele Grüße
Steffen

15.09.2011, 16:52

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
aber ist das ergebniss jetzt richtig f(1)=97700

oder muss man das anders amchen

15.09.2011, 16:52

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
F(1)=97700

Das ist natürlich richtig, aber die Aufgabe lautete:

Zitat:

bestimme eine Funktion, mit der sich die Aktivität in Abhängigkeit von der Zeit ( in Jahre ) berechnen lässt

Also ein f(x) = ... , wobei x die Jahre sind. Schreib einfach die Exponentialfunktion hin, mit dem a, das Du berechnet hast.

Viele Grüße
Steffen

15.09.2011, 16:59

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
aslo nur
f(x)= 100 000*(0.977)^x

15.09.2011, 17:01

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
f(x)= 100 000*(0.977)^x

Perfekt! Und

Zitat:

wie groß ist die jährliche prozentuale Abnahme der Aktivität?

Viele Grüße
Steffen

15.09.2011, 17:08

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
ich dachte ja das rechne ich mit f(1)= 97700 aber das ist zu hoch

also wäre das dann einfach a= 0.977?

15.09.2011, 17:12

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
ich dachte ja das rechne ich mit f(1)= 97700

Kannst Du tun. Das ist ja der Wert nach einem Jahr. Wieviel Prozent verlierst Du denn bei einer Änderung von 100000 auf 97700?

Viele Grüße
Steffen

15.09.2011, 17:15

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
das wären laut taschenrechner
100/100000=1/1000
1/1000*97700=97,7 %

ist das nicht zu viel?
oder muss ich dann noch
100-97,7 rechnen

15.09.2011, 17:32

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von sc
oder muss ich dann noch
100-97,7 rechnen

Mußt Du. Du willst ja wissen, wieviel Prozent weggehen, nicht wieviel noch übrigbleiben.

Viele Grüße
Steffen

15.09.2011, 17:40

sc

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
OK gut. vielen danke für die hilfe und die gedult

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »