Grenzwerte für Funktion mit e^x im Bruch

15.09.2011, 15:42

Skype

Grenzwerte für Funktion mit e^x im Bruch

Es handelt sich dabei um folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{e^{x} -1-x-0,5x^{2} }{3x^{3} } \end{eqnarray*}$

normal habe ich immer geschaut ob Zählergrad oder Nennergrad größer ist. dann habe ich durch diesen geteilt und habe die Funktion gegen limes laufen lassen. Es kürzte sich etwas raus und ich hatte beim Ergebnis.

Das Ergebnis für die diese Aufgabe ist 0. Das habe ich durch einsetzten von kleinen werten rausbekommen. Jetzt möchte ich den mathematischen Weg gehen.

setzte ich einfach 0 ein so habe ich 0 gegen 0. Ich muss also auch hier wieder sehen ob Zählergrad oder Nennergrad schneller wachsen. Aufgrund des e^x ist das für mich nicht ohne Weiteres ersichtlich.

Ich habe gelesen, dass man bei e^x mit L'hopital arbeiten muss. Also solange ableiten, bis es ersichtlich wird.

wenn ich ableite komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{e^{x} -1-x }{3x^{2} } \end{eqnarray*}$

hier könnte ich immer noch nicht sagen, was schneller wächst. Also leite ich nochmal ab.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{e^{x} -1 }{18x } \end{eqnarray*}$

da sehe ich immer noch nichts eindeutiges also leite ich nochmal ab:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{e^{x} }{18 } \end{eqnarray*}$

setze ich nun 0 ein komme ich auf 1/18 kann das stimmen??

15.09.2011, 15:50

klarsoweit

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RE: Grenzwerte für Funktion mit e^x im Bruch

Zitat:

Original von Skype
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{e^{x} -1-x }{3x^{2} } \end{eqnarray*}$

Bis auf obiges (falsche Ableitung im Nenner) ist als richtig. smile

15.09.2011, 15:59

Skype

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RE: Grenzwerte für Funktion mit e^x im Bruch
Vielen Dank erstmal für die schnelle Hilfe!

um nochmal festzuhalten. das Ergebnis stimmt.

dann dachte ich jetzt gerade l'hopital verstanden zu haben bis ich mal eine simple aufgabe damit durchgerechnet habe:

zunächst zur definition:

Die Regel von L’Hospital erlaubt es in vielen Fällen, den Grenzwert einer Funktion zu bestimmen, wenn sich der Funktionsterm so ausdrücken lässt, dass beim Erreichen der Grenze ein unbestimmter Ausdruck entsteht.
Alle Anwendungen der Regel lassen sich auf die Aufgabe zurückführen, den Grenzwert zu bestimmen, wenn sowohl als auch gilt, ist also ein unbestimmter Ausdruck des Typs .
Die Regel von L’Hospital besagt dann, dass gilt, falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. f' und g' bezeichnen dabei die ersten Ableitungen der Funktionen f und g. (Wikipedia)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3}\frac{3x^{2}-27 }{x-3 } \end{eqnarray*}$

herkömmlicher Ansatz: Zählergrad größer Nennergrad damit wächst dieser schneller. Ergebnis - unendlich

1. Kann man es noch mathematischer darstellen?
2. Wie ist die korrekte Schreibweise für das Ergebnis?

Jetzt habe ich dies mit l'hopital versucht zu lösen. Zunächst einmal habe ich geschaut ob, wenn ich die Grenze (3) einsetzte ich auf 0/0 komme (laut Def. notwenig damit ich l'hopital anwenden kann.)

leite ich also beides ab komme ich auf $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3}\frac{6x }{1 } \end{eqnarray*}$

damnach würde das ganze gegen 18 streben?!

15.09.2011, 16:05

klarsoweit

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RE: Grenzwerte für Funktion mit e^x im Bruch

Zitat:

Original von Skype
Die Regel von L’Hospital erlaubt es in vielen Fällen, den Grenzwert einer Funktion zu bestimmen, wenn sich der Funktionsterm so ausdrücken lässt, dass beim Erreichen der Grenze ein unbestimmter Ausdruck entsteht.

Aber nur Ausdrücke der Form $\begin{eqnarray*} \frac 0 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ . Deswegen klappt das bei deinem Beispiel nicht.

15.09.2011, 16:10

Skype

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RE: Grenzwerte für Funktion mit e^x im Bruch
Ich dachte das hier ist gemeint:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3}\frac{3*3^{2} -27 }{3-3 } = \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

dann verstehe ich nicht auf was sich die bedingung bezieht

15.09.2011, 16:17

Skype

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RE: Grenzwerte für Funktion mit e^x im Bruch
ah ok ist damit gemeint, dass ich IMMER für x=0 einsetzten muss? und prüfen muss ob 0/0 oder unendlich/undendlich rauskommt?

15.09.2011, 18:30

klarsoweit

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RE: Grenzwerte für Funktion mit e^x im Bruch
Sorry, da habe ich mich verguckt. Richtig ist natürlich:

Zitat:

Original von Skype
leite ich also beides ab komme ich auf $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3}\frac{6x }{1 } \end{eqnarray*}$

damnach würde das ganze gegen 18 streben?!

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