reelle Rekursion -> komplexe Formulierung

26.12.2006, 11:01

lonesome-dreamer

reelle Rekursion -> komplexe Formulierung

Hallo,
gegeben ist die reelle Rekursion:
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=x_n^2-y_n^2+a \ , \ y_{n+1}=2x_ny_n+b \end{eqnarray*}$

Es soll eine komplexe Formulierung für die Rekursion bestimmt werden.

Ich habe nicht mal nen Ansatz, wie ich da rangehen soll.
Könnte mir das bitte jemand erklären?

Gruß
Natalie

26.12.2006, 11:53

Orakel

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RE: reelle Rekursion -> komplexe Formulierung
ich nehme mal an, dass es folgendermaßen gemeint ist. die folgen $\begin{eqnarray*} (x_n)\subset\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y_n)\subset\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sollen jeweils der Real- bzw. Imaginärteil einer Folge $\begin{eqnarray*} (z_n)\subset\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ sein, also

$\begin{eqnarray*} z_n=x_n+iy_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Für diese komplexe Folge sollst du nun eine Rekursionsvorschrift finden.

Hilft das?

26.12.2006, 11:55

swerbe

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Hallo,

kurze Verständnisfrage:
Sollen die Rekursionsgleichungen wieder rekursiv, nur mit komplexen Gliedern, geschrieben werden oder darf die Rekursion auch mit hilfe von z.B. erzeugender Funktionen in einen expliziten Summenausdruck mit komplexen Koeffizienten geschrieben werden??

gruß
swerbe

Edit: Ich sehe gerade den Beitrag von Orakel. Meine Frage hat sich damit wohl erledigt....

26.12.2006, 14:01

lonesome-dreamer

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Die Aufgabenstellung lautet genau so, wie ich sie oben aufgeschrieben habe.
Ich denke, es soll so aussehen:
$\begin{eqnarray*} z_{n+1}=x_{n+1}+i y_{n+1} \end{eqnarray*}$

Leider hab ich keinen Plan, wie man da vorgeht.

26.12.2006, 16:30

baal

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Einfach mal $\begin{eqnarray*} z_{n+1}:=x_{n+1}+iy_{n+1}=x_{n}^2-y_{n}^2 ... \end{eqnarray*}$ hinschreiben und dann die Summanden etwas anders anordnen...

26.12.2006, 17:08

lonesome-dreamer

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Zitat:

Einfach mal $\begin{eqnarray*} z_{n+1}:=x_{n+1}+iy_{n+1}=x_{n}^2-y_{n}^2 ... \end{eqnarray*}$ hinschreiben und dann die Summanden etwas anders anordnen...

Ich verstehe nicht ganz, was du damit meinst.
Ich hab's bis jetzt so:
$\begin{eqnarray*} z_{n+1}=x_n^2-y_n^2+a+i(2x_ny_n+b) \end{eqnarray*}$
Aber das kann's ja nicht sein.

26.12.2006, 17:57

baal

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Nur noch etwas umordnen, ...und dann faktorisieren...
$\begin{eqnarray*} z_{n+1}:=x_{n+1}+iy_{n+1}=(x_{n}^2-y_{n}^2+i2x_{n}y_{n})+(a+ib)=... \end{eqnarray*}$

27.12.2006, 13:35

lonesome-dreamer

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Ich hab jetzt einfach die Real- und Imaginärteile abgelesen und erhalte folgendes:
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=Re \ z_{n+1}=x_n^2-y_n^2+a \\ y_{n+1}=Im \ z_{n+1}=2x_ny_n+b \end{eqnarray*}$
Die Frage ist nur, was das Ganze bringen soll und warum man sowas macht, weil es exakt dasselbe ist, wie das, was ich urpsprünglich eingesetzt habe. verwirrt

27.12.2006, 17:04

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} x_n^2-y_n^2+2x_ny_n\operatorname i=x_n^2+2\cdot x_n\cdot y_n\operatorname i+(y_n\operatorname i)^2 \end{eqnarray*}$ .

Siehst du es jetzt?

Gruß MSS

27.12.2006, 17:08

baal

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$\begin{eqnarray*} z_{n+1}:=x_{n+1}+iy_{n+1}=(x_{n}^2-y_{n}^2+i2x_{n}y_{n})+(a+ib)=(x_{n}+iy_{n})^{2}+(a+ib)=z_n^2+c \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} z_i,c \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

27.12.2006, 20:06

lonesome-dreamer

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Warum kann man das so umformen?

Multipliziert man die Klammer aus, steht da folgendes:
$\begin{eqnarray*} (x_n+iy_n)^2=x_n^2+2ix_ny_n+y_n^2 \end{eqnarray*}$

Aber im Ausgangsterm heißt es doch $\begin{eqnarray*} -y_n^2 \end{eqnarray*}$

Das versteh ich gerade nicht so ganz.

27.12.2006, 20:25

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} a=x_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=y_n\operatorname i \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} (x_n+y_n\operatorname)^2=x_n^2+2x_ny_n\operatorname i+(y_n\operatorname i)^2 \end{eqnarray*}$ .

Du hast das $\begin{eqnarray*} \operatorname i \end{eqnarray*}$ vergessen.

Gruß MSS

27.12.2006, 20:30

lonesome-dreamer

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Ja, jetzt seh ich's auch.
Vielen Dank.

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