Vollständige Induktion

15.09.2011, 17:39

FloTU

Vollständige Induktion

Bin gerade dabei folgendes zu beweisen komme aber nicht weiter:

Funktion = $\begin{eqnarray*} f : (-1,1) \Rightarrow R , f(x) = ln(1-x)-ln(1+x) \end{eqnarray*}$

Begründung die folgende Formel für die n-te Ableitung $\begin{eqnarray*} f^{(n)} , n \in N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n)} = (n-1)!(\frac{-1^n}{(1+x)^n} - \frac{1}{(1-x)^n} ) \end{eqnarray*}$

Folgender Ansatz:

IA:

$\begin{eqnarray*} f^1(x)=f(x)\frac{d}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1-1)!(\frac{-1}{1+x}-\frac{1}{1-x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{1+x}-\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Das stimmt schonmal.

IS:

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=(f^n(x))\frac{d}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n-1)!(n(-1)^n(x+1)^{-n-1}-n(x-1)^{-n-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(n+1-1)!((n+1)(-1)^{n+1}(x+1)^{-(n+1)-1}+(n+1)(x-1)^{-(n+1)-1}) \end{eqnarray*}$

hier komme ich nicht weiter wie ich jetzt auf das komme =

$\begin{eqnarray*} (n+1-1)!(\frac{(-1)^{n+1}}{((1+x)^{n+1}}-\frac{1}{(1-x)^{n+1}}) \end{eqnarray*}$

15.09.2011, 18:14

lgrizu

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von FloTU

IS:

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=(f^n(x))\frac{d}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n-1)!(n(-1)^n(x+1)^{-n-1}-n(x-1)^{-n-1}) \end{eqnarray*}$

Du hast hier Vorzeichenfehler, die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=(1+x)^{-n} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=(-n) \cdot (1+x)^{-(n+1)} \end{eqnarray*}$ .

15.09.2011, 18:25

FloTU

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ist das nicht das gleiche ?

$\begin{eqnarray*} -(n+1) = -n-1 \end{eqnarray*}$

15.09.2011, 18:26

lgrizu

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Es geht um das Vorzeichen von dem n, das als Multiplikator vor den Klammerausdrücken steht, nicht um den Exponenten.....

23.09.2011, 17:00

FloTU

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Hab jetzt nochmal abgeleitet und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} (n-1)!(n(1+x)^{-n-1}-n(1-x)^{-n-1}) \end{eqnarray*}$

mir ist jetzt nicht ganz klar wie ich das als Bruch schreiben kann ?

$\begin{eqnarray*} (n-1)!(\frac{1}{n(1+x)^{-n}}-\frac{1}{n(1-x)^{-n}}) \end{eqnarray*}$

Ich glaub aber das stimmt nicht unglücklich

^-1 heißt ja eigentlich nix anderes als das eine 1 im Zähler steht

23.09.2011, 18:21

lgrizu

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Wir bilden einmal die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} (f^n)'=(n-1)! \cdot \left( (-1)^n \cdot (-n) \cdot (1+x)^{-n-1} - (-n) \cdot (-1) \cdot (1-x)^{-n-1} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(n-1)! \cdot n \cdot \left( (-1)^{n+1} \cdot (1+x)^{-(n+1)} - (1-x)^{-(n+1)} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n! \cdot \left( \frac{(-1)^{n+1}}{(1+x)^{n+1}} - \frac{1}{(1-x)^{n+1}} \right) \end{eqnarray*}$ .

14.10.2011, 16:39

FloTU

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Kannst du mir erklären wie du auf diesen Schritt kommst ?

sehe ich das richtig das du n ausgeklammert hast ?

14.10.2011, 17:24

lgrizu

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Was genau verstehst du denn nicht?

Jap, ich habe n ausgeklammert.

14.10.2011, 17:31

FloTU

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ich komm grad nicht auf das ausklammern ich hab da:

$\begin{eqnarray*} n*(-1^n*(-1)(1+x)^{n-1}-((-1)*(1-x)^{-n-1})) \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit ?

14.10.2011, 18:01

lgrizu

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Nein, das stimmt nicht. Aber das kann doch nicht dein Ernst sein, dass du an einer Hochschule bist und es nicht schaffst, das Distributivgesetz anzuwenden.

Zuerst stimmt der Exponent deines ersten Summanden nicht. Dann fehlt das (n-1)! und dann hast du aus dem ersten Summanden ein n herausgezogen und aus dem zweiten ein -n.

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