Householder-Transformation

26.12.2006, 11:58

GastusPerman

Householder-Transformation

Hi!
Es heißt Householder Transformationen seien Spiegelungen.
Nun habe ich hier folgende Zeichnung, wobei P die HouseH.-Transformation zu v ist:

http://home.arcor.de/digital-video/muell/house.JPG

Es gilt Pv=-v wodurch die untersten beide Vektoren zustande kommen, richtig ?
Und da w senkrecht auf v liegt gilt für den Vektor w Pw=w ?

Aber wie kommt Px zustande !? x wurde an w gespiegelt oder ? Wieso ?

26.12.2006, 13:17

sqrt(2)

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RE: Householder-Transformation

Zitat:

Original von GastusPerman
Es gilt Pv=-v wodurch die untersten beide Vektoren zustande kommen, richtig ?

Ja, kannst du dir ja ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} Pv=(E-2vv^T)v=v-2v(v^Tv)=v-2v=-v \end{eqnarray*}$ ,

da $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein Einheitvektor ist.

Zitat:

Original von GastusPerman
Und da w senkrecht auf v liegt gilt für den Vektor w Pw=w ?

Ja, wiederum:

$\begin{eqnarray*} Pw=(E-2vv^T)w=w-2v(v^Tw)=w \end{eqnarray*}$ ,

da $\begin{eqnarray*} v^Tw=\langle v, w \rangle=0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von GastusPerman
Aber wie kommt Px zustande !? x wurde an w gespiegelt oder ? Wieso ?

Diese Transformation spiegelt an der Ebene durch den Ursprung, zu der $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ der Normalenvektor ist, und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ liegt halt gerade in dieser Ebene.

26.12.2006, 18:29

GastusPerman

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D.h. wenn ich zu einem Vektor v die Householder Transformation P berechne, dann ist die Spiegelachse für alle weiteren Vektoren immer die Senkrecht zu v die durch den Ursprung geht ?

Kann man das so für nicht mathematisch begabte menschen ausdrücken ? Augenzwinkern

26.12.2006, 18:41

sqrt(2)

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Du vergisst, dass es in höherdimensionalen Räumen (höher als 2) unendlich viele solcher Achsen gibt. Es handelt sich dann um eine eindeutig bestimmte Spiegelebene (Dimension 3) bzw. Spiegel-Hyperebene (Dimensionen 4 und höher).

26.12.2006, 19:12

Golischmos

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das hilft mir jetzt nicht wirklich weiter

26.12.2006, 20:04

sqrt(2)

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Das mir auch nicht.

26.12.2006, 20:49

Golischmos

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Angenommen in der Skizze welche ich oben hinzugefügt habe würde ich einen weiteren Vektor "a" ergänzen. Wäre "Pa" dann ebenfalls eine Spiegelung von "a" an "w" ?

26.12.2006, 20:50

Golischmos

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wobei a nicht senkrecht zu v

26.12.2006, 21:20

sqrt(2)

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Ja (auch wenn a senkrecht zu v steht). Im Zweidimensionalen ist es so einfach.

26.12.2006, 22:11

Golischmos

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gut