Permutation, Frage nach der Notation

16.09.2011, 02:34

geometer

Permutation, Frage nach der Notation

Hallo,

wikipedia, googlen und rumstochern in meinen lange zurückliegenden Stochastikkenntnissen hilft mir leider nicht, meine Frage zu beantworten, wie ich die Menge

$\begin{eqnarray*} \{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)\} \end{eqnarray*}$

elegant und kurz hinschreiben kann. Ich hoffe dabei dass

$\begin{eqnarray*} \{(i,j,k): i,j,k \in \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden $\begin{eqnarray*} \} \end{eqnarray*}$

nicht die einzige Möglichkeit ist.
Gabs da nicht was à la $\begin{eqnarray*} \pi(1,2,3) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \pi(\{1,2,3\}) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sigma(... \end{eqnarray*}$ ... oder so?

Brauchs für die Masterarbeit, also bitte mit Sicherheit korrekt, am besten mit Verweis auf eine Quelle.

Lieben Dank

16.09.2011, 10:19

Zellerli

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In deinem speziellen Fall handelt es sich um die Symmetrische Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathfrak{S}_3 \end{eqnarray*}$ .

16.09.2011, 15:55

geometer

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Ah, herzlichen Dank!

Und (was mir auch aus dem wiki-Artikel spontan nicht ersichtlich ist - kann ich die Elemente dieser Menge tatsächlich als Vektoren/Tripel verstehen?

Sodass die Formulierung

$\begin{eqnarray*} \ldots \forall (i,j,k) \in \{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)\} \end{eqnarray*}$

absolut identisch ist zu

$\begin{eqnarray*} \ldots \forall (i,j,k) \in \mathfrak{S}_3 \end{eqnarray*}$

oder muss ich da noch was anpassen?

17.09.2011, 12:09

Zellerli

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Für mich und sicher auch viele andere wäre es identisch.
Ich weiß aber nicht 100%ig, ob die $\begin{eqnarray*} \mathfrak{S}_3 \end{eqnarray*}$ immer genau die Elemente "1, 2, 3" haben muss und nicht auch mal "2, 3, 4" oder "Elefant, Birne, BMW" hat (kommt im Zweifelsfall darauf an, wie es der Leser sieht).

Frag diesbezüglich besser nochmal in der Algebra nach, ob die Formulierung identisch ist.

17.09.2011, 12:19

Math1986

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Zitat:

Original von Zellerli
Für mich und sicher auch viele andere wäre es identisch.
Ich weiß aber nicht 100%ig, ob die $\begin{eqnarray*} \mathfrak{S}_3 \end{eqnarray*}$ immer genau die Elemente "1, 2, 3" haben muss und nicht auch mal "2, 3, 4" oder "Elefant, Birne, BMW" hat (kommt im Zweifelsfall darauf an, wie es der Leser sieht).

Frag diesbezüglich besser nochmal in der Algebra nach, ob die Formulierung identisch ist.

Er sagte, er meint Vektoren/Tripel, während die symmetrische Gruppe aus Permutationen besteht, von daher wäre es formal nicht das selbe verwirrt

An geometer: Sind nun Vektoren oder Permutationen gemeint?

17.09.2011, 12:39

Leopold

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Wenn es nur um die konkreten 123-Tripel geht, dann ist doch die Schreibweise

$\begin{eqnarray*} T = \left\{ \, (i,j,k) \, \left| \, i,j,k \in \{ 1,2,3 \} \ \text{paarweise verschieden} \right. \right\} \end{eqnarray*}$

bestens. Man hüte sich vor einer Überformalisierung von mathematischen Aussagen. Die deutsche (englische, französische etc.) Sprache darf, ja muß im mathematischen Text verwendet werden. Mathematische Symbole sind dort einzusetzen, wo es nicht mehr möglich ist, den Sachverhalt in der mathematischen Umgangssprache sachgerecht auszudrücken. Natürlich könnte man die Menge $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} T = \left\{ \, t \in \{ 1,2,3 \}^{\{ 1,2,3 \}} \, \left| \, \exists \, s \in \{ 1,2,3 \}^{\{ 1,2,3 \}}: \ s \circ t = \operatorname{id}_{\{ 1,2,3 \}} \right. \right\} \end{eqnarray*}$

Aber damit beweise ich nichts anderes, als daß ich ein Riesenangeber bin. Außer heißer Luft bleibt da nicht viel übrig. Ich habe jedenfalls immer den Verdacht, wenn ich in solchermaßen übersymbolisierten mathematischen Texten lese, daß der Autor eigentlich nichts zu sagen hat. Ein Angeber halt. Eitles Blendwerkzeug.

17.09.2011, 12:41

Zellerli

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Hm ja, stimmt. Das Tripel (wie man eine Permutation oft abkürzend schreibt) steht ja für eine Abbildung, bzw. für deren Bild. So einfach sollte es also nicht gehen.

Ich verweise aber nochmal an die Algebra, wo diese Frage kompetenter geklärt werden kann und verschiebe diesen Thread.

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