Tensorprodukt / banale Frage

16.09.2011, 12:05	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Tensorprodukt / banale Frage Hi, ich habe eine banale Frage zum Tensorprodukt. Gegeben sind die $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ -Moduln: $\begin{eqnarray} M := \mathbb{Z}, N := 2\mathbb{Z} \subseteq M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P := \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist $\begin{eqnarray} 2\otimes1 = 0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} M\otimes_{\mathbb{Z}} P \end{eqnarray}$ . Das ist ja ziemlich leicht zu zeigen (hoffe ich): $\begin{eqnarray} 2\otimes 1 = 1 \otimes 2\cdot 1 = 1\otimes 2 = 1 \otimes 0 = 0 \end{eqnarray}$ Meine Frage ist nun. Gilt diese Aussage denn für ein allg. $\begin{eqnarray} p\ne 0\in P \end{eqnarray}$ denn nicht auch? $\begin{eqnarray} 2\otimes p = 1 \otimes 2p = 1\otimes 0 = 0 \end{eqnarray}$ Und dann habe ich noch eine Frage. Behauptet wird, dass $\begin{eqnarray} 2\otimes 1\ne 0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} N\otimes_{\mathbb{Z}} P \end{eqnarray}$ ist. Wieso gilt das nicht? Ibn Batuta
16.09.2011, 12:26	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur ersten Frage: Ja, das gilt ganz allgemein. Da es aber ohnehin nur die Möglichkeiten $\begin{eqnarray} p=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p=0 \end{eqnarray}$ gibt und die Behauptung für letztere Wahl trivial ist, sind beide Aussagen gleich aussagekräftig. Zur zweiten Frage: In $\begin{eqnarray} 2 \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ex. kein Element $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 2a=2 \end{eqnarray}$ . Insbesondere kannst du die 2 nicht vermöge der Bilinearität des Tensorprodukts nach rechts ziehen, da du ja im Prinzip links durch 2 dividieren müsstest.
16.09.2011, 12:56	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Manus, danke für deine Antwort! So ähnlich hatte ich mir das auch gedacht.. Und mir ist vielleicht noch ein anderer Weg eingefallen (grübel darüber schon seit 7 Uhr ). Man kann sich doch offensichtlich einen Isomorphismus $\begin{eqnarray} 2\mathbb{Z}\otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}\otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Phi\colon 2z \otimes (r+2\mathbb{Z})\to z \otimes (r+2\mathbb{Z}) \end{eqnarray}$ konstruieren. Und man kann sich (glaube ich, die Beweise stehen noch aus!) noch folgenden Isomorphismus konstruieren: $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}\otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \rho\colon z \otimes (r+2\mathbb{Z}) \to zr+2\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Damit hätte ich dann: $\begin{eqnarray} 2z \otimes (r+2\mathbb{Z})\to z \otimes (r+2\mathbb{Z}) \to zr+2\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Speziell für diese Aufgabe, schaut das so aus: $\begin{eqnarray} 2_{2\mathbb{Z}} \otimes 1_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \to 1_{\mathbb{Z}}\otimes 1_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \to 1_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \end{eqnarray}$ und das ist ungleich 0. Stimmt das so, wie ich mir das überlegt habe? Ibn Batuta
16.09.2011, 13:15	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir sollten vielleicht zunächst festhalten, dass wir nur über die Moduln (und nicht z.B. über den Ring $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ) sprechen. In dem Fall sind beide von dir angegeben Abbildungen $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ -Modulhomomorphismen (Allgemein ist $\begin{eqnarray} n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ -Modul und $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \otimes R \cong R \end{eqnarray}$ für jeden $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ -Modul $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ). Und dementsprechend beweist dies (ebenfalls) die Behauptung.
16.09.2011, 14:03	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut. Danke dir! Ibn Batuta

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