Folge + Konvergenz zeigen

Neue Frage »

jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »
Folge + Konvergenz zeigen
Hallo sitz grad an einer Aufgabe. Habe sie zwar hier im Board gefunden da wurde sie aber mit einer Hilfsfolge gelöst. Ich würde es lieber ohne machen aber bekomm das nicht so richtig hin.

Zitat:

Aufgabe : Eine Folge ist rekursiv definiert :



Natürlich mit n=> 1

Untersuche die Folge auf konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert.



Ok also ich will zunächst einmal zeigen das die Funktion monoton wächst, das will ich hier gerne mit Induktion machen (geht es auch anders ? dann bitte erst wenn die Induktion fertig ist Big Laugh )


IA :


IV : (Was nun? ich rate mal) Sei bewiesen für


IS : Zu zeigen :



So das war es unglücklich
Hab so im Gefühl das der Schritt total falsch ist.
Kann mir da jemand behilflich sein.



Liebe Grüße
Jaxx
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge + Konvergenz zeigen
Zitat:
Original von jaxxon
IS : Zu zeigen :


Verwende nur, wenn es zwingend notwendig ist. Es gilt nach Induktionsannahme und daraus folgt, dass . Das ist aber nichts anderes als .


Gruß, therisen
jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
as ist aber nichts anderes als .

Ja genau das ist ja das komische. Das ist doch zu einfach...Oder wär das somit korrekt?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Manchmal sind so einfache Sachen auch korrekt smile
jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Punkt 1 wär also abgehakt.
Bleibt noch zu zeigen das die Folge beschränkt ist dann habe ich ja zusammen mit der Induktion bewiesen, dass die Folge konvergiert.

Und genau jetzt würde ich das gerne mal langsam angehen.
Wie bekomme ich denn eine ("kleinste") obere Schranke raus ?
Klar ist, dass ich einfach mal die Folgenglieder aufschreiben kann bissle durch den Kopf gehen lassen, rumprobieren und schon habe ich mein supremum.

Mir fehlt irgendwie ein verfahren, dass ich auch bei komplizierten Folgen anwenden kann. Also wie gehe ich elementar daran ?

Klar ist ja, dass eine Folge beschränkt ist wenn gilt :

für genügend große n.

Kann ich hier jetzt meine Folge einsetzen und einfach nach a umstellen ?



mfg
Jaxxon
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Löse zunächst die Gleichung nach auf.



Wenn du irgendeine obere Schranke gefunden hast, kannst du daher sofort sagen, dass der Grenzwert sein muss.



Gruß, therisen
 
 
jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »



Da hast du quasi selbst erst einmal abgeleitet das :

sein muss ?


Ok dann kann man das ja umformen zu :

x² - x-2 = 0 und dann bekomm ich für mein x entweder x= -1 oder x = 2 raus.
Da n >= 1 kann somit also nur 2 in Frage kommen.

Also auf dieser Art und Weise habe ich erst einmal eine ober Schranke gefunden ?


Muss nicht jetzt noch gezeigt werden, dass es die kleinste obere Schranke ist und erst dann, dass es auch der Grenzwert ist ?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jaxxon
x² - x-2 = 0 und dann bekomm ich für mein x entweder x= -1 oder x = 2 raus.
Da n >= 1 kann somit also nur 2 in Frage kommen.


Nein. Erstens ist die Begründung falsch, zweitens ist Quadrieren i.a. keine Äquivalenzumformung, d.h. man muss die Probe machen: .

Zitat:
Original von jaxxon
Also auf dieser Art und Weise habe ich erst einmal eine ober Schranke gefunden ?


Muss nicht jetzt noch gezeigt werden, dass es die kleinste obere Schranke ist und erst dann, dass es auch der Grenzwert ist ?


Nein, du hast gezeigt, dass, falls ein Grenzwert existiert, dann muss dieser gleich 2 sein. Denn dann gilt und . Mit der Rekursionsformel erhält man dann eine Gleichung, die man nach x auflösen kann.

Also: Du musst jetzt noch überprüfen, ob tatsächlich beschränkt ist. Erst dann kannst du sagen, dass der Grenzwert existiert und dann kannst du sagen, dass dieser gleich 2 ist (egal, welche obere Schranke du nachgewiesen hast!)


Gruß, therisen
jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich probier das mal einzusetzen :

Für meine Folge muss gelten :



Also muss sein.

Dann folgt :

und somit erhalte ich dann :



Damit wäre doch meine Folge halt immer kleiner 2 und das müsste es hoffentlich gewesen sein ^^
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist alles sehr zusammenhangslos. Außerdem scheinst du schon anzunehmen, dass deine Folge konvergiert.

Induktiv: Gilt , so folgt


Gruß, therisen
jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, alles klar.
Wenn ich also eine Folge auf eine mögliche Schranke überprüfen will dann mache ich das mit Induktion ?

Zwar muss ich hier nicht überprüfen ob es die kleinste obere Schranke ist aber wenn ich dies überprüfen müsste wie mache ich dies ?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Bei rekursiv definierten Folgen ist die vollständige Induktion dein bester Freund Augenzwinkern
jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab da immer Hemmungen gleich 2 mal eine Induktion zu machen aber gut das ist dann ja kein Problem


Vielen Dank Big Laugh
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »