Aufgabe zur Beweisführung

16.09.2011, 14:19

Masseltof

Aufgabe zur Beweisführung

Hallo.

Basierend auf Interesse und Semesterferien stöbere ich gerade in Harro Heusers Lehrbuch der Analysis Teil 1.
Ich bin kein Mathestudent und hatte als Vorlesung bis dato nur Mathe für Naturwissenschaftler, also bin ich auf dem Gebiet der Beweisführung neu und weiß nicht, ob mein Ansatz zur folgenden Aufgabe überhaupt plausibel ist.

Beweise die folgenden Aufgaben über Mengen:
$\begin{eqnarray*} M \cup M = M \end{eqnarray*}$

Mein Gedankengang sieht wie folgt aus:
Eine Menge ist definiert durch die Elemente, die sie beinhaltet oder eben nicht (leere Menge).
Bereits wenn x Element von M ist, existiert M als jene Menge, die x beinhaltet, sodass für x bestimmte Eigenschaften gelten.
Ich bin mir nicht sicher, ob hier nicht ein Doppelpfeil hin muss, denn M mit x mag notwendig dafür sein, dass x Element von M ist, jedoch ist auch die Tatsache, dass x Element von M ist notwendig dafür, dass M eine Menge mit x ist, denn wenn x kein Element von M wäre, könnte M ja nicht x enthalten.

$\begin{eqnarray*} \exists x \in M \Leftrightarrow M:=\{x:....\} \end{eqnarray*}$

Genau dann, wenn M eine Menge mit x als Element ist, kann ich die Vereinigung von M und M durch die obige Menge ersetzen und da sowohl M als auch M die gleichen Elemente enthält, folgt aus diesem Sachverhalt, dass die Vereinigung von M und M = M ist, da die Vereinigung von zwei Mengen ja die Bildung einer neuen ggf. gleichen Menge mit den Elementen beider Mengen beschreibt.

$\begin{eqnarray*} \exists x \in M \Leftrightarrow M:=\{x:....\} \Leftrightarrow M \cup M= \{x:....\}\cup\{x:.....\} \Rightarrow M \cup M=M \end{eqnarray*}$

Das war meine Idee bisher und ich würde mich sehr darüber freuen, wenn mir jemand etwas helfen ggf. Denkansätze geben könnte.

Viele Grüße und danke vielmals!

16.09.2011, 14:59

ThomasFF

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RE: Aufgabe zur Beweisführung
Hallo,

du machst es dir unnötig kompliziert. Wie ist $\begin{eqnarray*} M \cup M \end{eqnarray*}$ überhaupt definiert?

16.09.2011, 15:04

weisbrot

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RE: Aufgabe zur Beweisführung
kann deiner argumentation leider nur teilweise folgen. um die gleichheit von mengen zu zeigen macht man sich üblicherweise folgendes zu nutze:

$\begin{eqnarray*} A=B \Leftrightarrow A\subset B \wedge B\subset A \end{eqnarray*}$

lg

16.09.2011, 15:44

Masseltof

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Hallo ihr beiden und danke für die Antworten.

ThomasFF:
Unter der Vereinigung zweier Mengen M und N $\begin{eqnarray*} M \cup N \end{eqnarray*}$ versteht man die Menge aller Elemente die in M oder N enthalten sind.
Auf $\begin{eqnarray*} M \cup M \end{eqnarray*}$ bezogen sind dies eben nur die Elemente von M und somit eben die Menge M, aber würde das als Beweis reichen?

An Weisbrot: Darf ich fragen, wo ich einen Fehler gemacht habe, oder wo es mit dem Verständnis hapert? Möchte die selben Fehler natürlich zukünftig gerne meiden ^^.

Wenn ich die Gleichheit der Mengen beweise, so führt dies auch zum Schluss, dass die Elemente beider Mengen gleich sind. Reicht dies dann als Beweis aus für $\begin{eqnarray*} M \cup M =M \end{eqnarray*}$ . Denn wenn alle Elemente gleich sind, so besteht die Vereinigung ja aus genau diesen und keinen anderen und dies würde auf die Ursprungsmenge M schließen lassen. Quasi die gleiche Frage, wie oben zu ThomasFF.

Ich danke euch sehr für eure Hilfe!

Viele Grüße

16.09.2011, 16:05

weisbrot

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Zitat:

Wenn ich die Gleichheit der Mengen beweise, so führt dies auch zum Schluss, dass die Elemente beider Mengen gleich sind.

andersrum: mengen sind gleich, wenn sie die gleichen elemente haben.

nunja, wie thomas es schon schrieb: du machst es dir unnötig kompliziert. das was du schreibst, ist natürlich nicht falsch, aber auch kein mathematischr beweis. ebenso scheint deine quantorenschreibweise etwas wirr. ich weis, beweise solch offensichtlicher aussagen sind paradoxerweise oft schwierig, aber probier es doch mal mit meinem vorschlag.

lg

16.09.2011, 16:22

Masseltof

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Hallo und danke erneut für die Antwort.

Ich werde mich hier weiter dranhängen und es mit deinem Vorschlag versuchen und meinen erneuten Lösungsvorschlag hier posten.

Danke vielmals für die Antwort smile

Liebe Grüße

18.09.2011, 19:57

Masseltof

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Guten Abend.

Leider hatte ich das Wochenende nicht viel Zeit, weswegen ich jetzt erst meine Antwort poste.
Auch hier bin ich mir nicht sicher, ob mein Lösungsvorschlag korrekt ist, weswegen ich mich über eine Kontrolle sehr freuen würde smile

.

Lösungsvorschlag:
$\begin{eqnarray*} A = B \Leftrightarrow A \subset B \wedge B \subset A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \subset B := x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B \subset A := x \in B \Rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A \subset B \wedge B \subset A) \Leftrightarrow (x \in A \Rightarrow x \in B \wedge x \in B \Rightarrow x \in A) \equiv x \in A\Leftrightarrow x \in B \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B \end{eqnarray*}$

Mathematische Definition einer Vereinigung:
$\begin{eqnarray*} A \cup B:= \{x| x\in A \wedge x \in B \} \end{eqnarray*}$

Was dem obigen entspricht.
Ist das so richtig? Und falls nicht bin ich wenigstens auf dem richtigen Weg?

Viele Grüße und danke im Voraus.

18.09.2011, 20:05

ThomasFF

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$\begin{eqnarray*} A \subset B := x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$ darf man
nicht so schreiben. Und das gilt auch für viele andere Ausdrücke die
du schreibst.

Ich empfehle dir nochmal ganz neu anzufangen. D.h. zurück
zu den Gesetzen der Logik. Was sind Aussagen, etc. Dann solltest
du einige wichtige logische Gesetze merken.

Dann, wenn du die Logik sehr gut kannst, gehts zu Mengen. Das
ist der Aufbau der heutigen Mathematik. Mittendrin einsteigen
ist nicht unbedingt angesagt!

18.09.2011, 20:09

ThomasFF

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PS: Ich möchte dir ja nicht die Lösung sagen, aber, wenn man
flink mit Logik umgehen kann, ist das in 2 Gleichheiten gezeigt.

Beide inklusionen ist hier schon zu viel des guten.

18.09.2011, 20:11

Masseltof

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Hallo Thomas.

Könntest du mir ggf. etwas an Literatur empfehlen?
Ich habe weder ein Vorlesungsskript, sondern nur das Lehrburch der Analysis Teil 1 von Harro Heusser und hier wird direkt in Mengen eingestiegen :/.
Ich denke mal, dass ich ebenso mit Aufgaben aus der Aussagenlogik beginnen sollte, also würde ich mich auch für Literaturangaben bezüglich dieser Aufgaben sehr freuen.

Über Beisteuerungen anderer Leser würde ich mich natürlich auch sehr freuen.

Zum 2ten Post: Scheinbar reicht mein Wissen dafür noch nicht aus. Ich werde mir aber auf jeden Fall Gedanken machen. Vielleicht stoße ich ja noch heute Abend darauf. Der Tip ist auf jeden Fall sehr nett smile

Danke.

Viele Grüße und danke im Voraus.

18.09.2011, 20:18

ThomasFF

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Hallo Masseltof,

gib bei google: "grieser-analysis1" ein.
Das ist zwar nicht das Skript zu meiner Vorlesung, aber ich habe es überflogen
und der Aufbau ist der meiner sehr ähnlich.

PS: Möchtest du vllt den Beweis sehen, damit du ein Gefühl bekommst
für solche Aufgaben? Gibt ja noch genug andere, also wird das auch
kein Spaß-verderben sein.

18.09.2011, 20:27

Masseltof

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Halo und danke für die schnelle Antwort.

Ich werde mir diese Literatur auf jeden Fall beschaffen.
Über den Beweis würde ich mich sehr freuen, gibt er mir doch keine Ruhe.

Was mir eben im Kopf geschwirrt ist möchte ich dennoch kurz posten, ggf. liege ich ja richtig^^.

$\begin{eqnarray*} M \cup M := \{x \in M \wedge x \in M \} \equiv \{x \in M\} \Leftrightarrow x \in M \end{eqnarray*}$

So über den richtigen Beweis bin ich sehr gespannt.

Viele Grüße und danke für die Geduld! smile

18.09.2011, 20:32

ThomasFF

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Hallo Masseltof, dein Beweis sieht schon sehr gut aus,
ein paar kleine formale Fehler gibt es noch.

$\begin{eqnarray*} M \cup M := \{x \in M \vee x \in M \} = \{x \in M\} =: M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{denn für alle Aussagen $p$ gilt: $p \vee p \iff p$.} \end{eqnarray*}$

PS: das obige logische Gesetz kann man dann mit Wahrheitstabellen beweisen.
Aber ... das ist alles klar nicht? Aber nur mit solchen strengen Arbeitsweisen steht
die Mathematik auf festem Boden.

18.09.2011, 21:35

Masseltof

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Hallo Thomas.

Danke vielmals für die Mühe, die du dir gemacht hast und demnach auch die Geduld.
Ich spüre gerade ein kleines Erfolgserlebnis, welches mich noch mehr dazu beflügelt mich mit der mathematischen Denkweise zu beschäftigen. Ich freue mich gerade riesig smile

.

Danke vielmals und über gegebenenfalls zukünftige Antworten natürlich auch!

Liebe Grüße und eine gute Nacht

Ps: Das logische Gesetz konnte ich nachvollziehen.

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