Ungleichung mittels vollständiger Induktion beweisen

16.09.2011, 14:25

nils mathe lk hems

Ungleichung mittels vollständiger Induktion beweisen

Hallo

,

ich habe folgende Ungleichung, die ich mittels Vollständiger Induktion beweisen muss:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\cdot\cdot\frac{2n-1}{2n}\leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N = {1,2,3...} \end{eqnarray*}$

also für n=1 gilt das ganze schonmal...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

nun für n+1

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\cdot\cdot\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \end{eqnarray*}$

so nun ist $\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{2n+2}< 1 \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+1}}> \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \end{eqnarray*}$

danke schonmal für alle tipps und hinweise für evtl. fehler Augenzwinkern

16.09.2011, 14:37

René Gruber

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
so nun ist $\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{2n+2}< 1 \end{eqnarray*}$

Richtig, ist aber nutzlos für den Beweis.

Mit ein bisschen Nachdenken über die rechte Seite der Behauptung sollte klar sein, dass die monoton fallend ist. Wenn du da den hinzukommenden Faktor derart grob nur durch 1 abschätzen willst, kann das ja nix mit dem Induktiosnschritt werden. unglücklich

Da musst du schon eine feinere Klinge als diesen rostigen Krummsäbel schwingen. smile

16.09.2011, 14:39

riwe

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RE: Ungleichung mittels vollständiger Induktion beweisen

Zitat:

Original von nils mathe lk hems

nun für n+1

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\cdot\cdot\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \end{eqnarray*}$

danke schonmal für alle tipps und hinweise für evtl. fehler Augenzwinkern

was hältst du davon, das einfach auszuquadrieren Augenzwinkern

16.09.2011, 15:04

nils mathe lk hems

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \end{eqnarray*}$

also ansatz dort fortführen:

nen freund kam eben auf die idee mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+1}} \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren um es auf die andere seite zu bringen...

ob das nun als beweis ausreichen würde weiß ich jetzt aber auch nicht...

sähe dann so aus

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{2n+2}\leq \frac{\sqrt{3n+1}}{\sqrt{3n+4}} \end{eqnarray*}$

quadrieren wäre jetzt zwar ne heiden arbeit aber ich machs mal ^^

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3n-1}\cdot\frac{4n^2+4n+1}{4n^2+4n+4}\leq \frac{1}{3n+4} \end{eqnarray*}$

hmm jetzt könnte ich noch in dem großen bruch durch $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ kürzen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3n-1}\cdot\frac{4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{4+\frac{4}{n}+\frac{4}{n^2}}\leq \frac{1}{3n+4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3n-1}\leq \frac{1}{3n+4} \end{eqnarray*}$

das sollte als beweis genügen oder?

16.09.2011, 15:21

weisbrot

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wo kommt das "-" im nenner her? die letzte aussage ist schlicht falsch...

16.09.2011, 15:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
quadrieren wäre jetzt zwar ne heiden arbeit aber ich machs mal ^^

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3n-1}\cdot\frac{4n^2+4n+1}{4n^2+4n+4}\leq \frac{1}{3n+4} \end{eqnarray*}$

So schlimm war das Quadrieren nun auch wieder nicht. Aber warum dividierst du dann durch (3n+1), wobei noch daraus links im Nenner ein 3n-1 wird? verwirrt

Multipliziere doch mal so, daß alle Nenner verschwinden.

16.09.2011, 15:31

nils mathe lk hems

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sry das minus ist unfug...

hab es nur hier im latex geschrieben und bin war kurz auf die dritte binomische formel gekommen um die wurzel verschwinden zu lassen aber das is ja unfug...

öhm ja die letzte aussage stimmt is auch unfug -.-

also von vorne

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3n+1}\cdot\frac{4n^2+4n+1}{4n^2+4n+4}\leq \frac{1}{3n+4} \end{eqnarray*}$

meinst du so?

$\begin{eqnarray*} (3n+4)\cdot (4n^2+4n+1) \leq (3n+1)\cdot (4n^2+4n+4) \end{eqnarray*}$

16.09.2011, 15:34

klarsoweit

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Ja, wobei mir noch auffällt, daß du (2n + 2)² falsch gerechnet hast.

16.09.2011, 15:40

nils mathe lk hems

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oh man ich hasse diese flüchtigkeitsfehler -.-

update so sollte es aussehen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3n+1}\cdot\frac{4n^2+4n+1}{4n^2+8n+4}\leq \frac{1}{3n+4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3n+4)\cdot (4n^2+4n+1) \leq (3n+1)\cdot (4n^2+8n+4) \end{eqnarray*}$

16.09.2011, 15:46

nils mathe lk hems

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so ausmultipliziert ergibt das:

$\begin{eqnarray*} 12n^3+12n^2+3n+16n^2+16n+4\leq 12n^3+24n^2+12n+4n^2+8n+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12n^3+28n^2+19n+4\leq 12n^3+28n^2+20n+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 19n\leq 20n \end{eqnarray*}$

16.09.2011, 15:49

René Gruber

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DAS ist sie jetzt endlich, die feine Klinge. Freude