grenzwert

16.09.2011, 16:38

nils mathe lk hems

grenzwert

hallo also hier nen auszug aus ner multiple choice frage:

für den grenzwert $\begin{eqnarray*} A = \lim_{x \to a} \frac{sinx-sina}{x-a} \end{eqnarray*}$ gilt

1.) $\begin{eqnarray*} -1\leq A \leq 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

stimmt, da nach l'Hôpital $\begin{eqnarray*} \frac{cosa}{-1} \end{eqnarray*}$

2.) A ist $\begin{eqnarray*} \forall a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gleich dem grenzwert

$\begin{eqnarray*} A = \lim_{x \to a} \frac{cosx-cosa}{x-a} \end{eqnarray*}$

aus dem bauch hinaus würde ich sagen stimmt nicht aber sicher bin ich mir nicht...

l'Hôpital bei beidem wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{cosa}{-1} = \frac{sina}{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos a = sin a \end{eqnarray*}$

stimmt ja nicht
aber geht l'Hôpital auf beiden seiten anzuwenden?

16.09.2011, 16:42

klarsoweit

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RE: grenzwert

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
1.) $\begin{eqnarray*} -1\leq A \leq 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

stimmt, da nach l'Hôpital $\begin{eqnarray*} \frac{cosa}{-1} \end{eqnarray*}$

Das ist aber nicht der Grenzwert.

16.09.2011, 16:49

nils mathe lk hems

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ich hab jetzt gerade nach a abgeleitet -.-

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{cosx}{1} = cosa \end{eqnarray*}$

das ist der grenzwert oder?

16.09.2011, 16:53

klarsoweit

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Ja.

16.09.2011, 16:55

nils mathe lk hems

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und da der cosinus zwischen -1 und 1 wandert stimmt die erste aussage ja

aber die zweite ist falsch nicht wahr?

16.09.2011, 17:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
und da der cosinus zwischen -1 und 1 wandert stimmt die erste aussage ja

Ja.

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
aber die zweite ist falsch nicht wahr?

Das Problem ist, daß einmal A so und einmal so definiert wird, so daß ich da jetzt ein Verständnisproblem habe, was da ausgesagt werden soll.

16.09.2011, 17:41

nils mathe lk hems

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achso ja das hatte ich oben geschrieben...

es ist multiple choice deswegen einmal so und einmal so

es soll halt beides einzeln betrachtet werden und mit richtig oder falsch beantwortet werden das hätte ich vllt noch sagen sollen es geht nich darum das richtig anzukreuzen

16.09.2011, 17:49

klarsoweit

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Hmm. Trotzdem kann man nicht einmal A so und einmal so definieren. Wenn das wirklich so da steht, dann halte ich das für formalen Unfug.

16.09.2011, 18:13

nils mathe lk hems

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achso du meinst beim zweiten jetzt?
nein es geht darum ob das stimmt oder nicht ob der grenzwert von dem einen gleich dem anderen ist...
wenn nciht dann eben falsch

16.09.2011, 22:30

klarsoweit

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Das habe ich wohl verstanden, aber trotzdem würde ich mich dafür interessieren, ob das, was du geschrieben hast, der originale Aufgabentext war.

17.09.2011, 09:22

Mulder

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das habe ich wohl verstanden, aber trotzdem würde ich mich dafür interessieren, ob das, was du geschrieben hast, der originale Aufgabentext war.

Es ist wohl so zu verstehen, dass über den einzelnen Multiple-Choice-Aussage sozusagen als "Überschrift" stand:

Zitat:

für den grenzwert $\begin{eqnarray*} A = \lim_{x \to a} \frac{sinx-sina}{x-a} \end{eqnarray*}$ gilt

Und sowohl 1) als auch 2) beziehen sich dann auf diese Aussage. Und dann ist es natürlich in der Tat so, dass 1) korrekt ist und 2) eben nicht.

L'Hospital braucht man da eigentlich auch gar nicht, man kann die Ausdrücke ja sofort als Differentialquotienzen identifizieren:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{\sin(x)-\sin(a)}{x-a} = \sin'(a) = \cos(a) \end{eqnarray*}$

Entsprechend dann bei 2) anwenden, nur dann für den cos. L'Hospital liefert aber natürlich das gleiche.

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