(starkes) Maximumprinzip

16.09.2011, 18:28

Gast11022013

(starkes) Maximumprinzip

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage zu einem Beweis.

Bewiesen wird folgender Satz:

Sei $\begin{eqnarray*} u\in C^2(U)\cup C(\overline{U}) \end{eqnarray*}$ harmonisch in U. Dann gilt:

Ist U zusammenhängend und existiert ein Punkt $\begin{eqnarray*} x_0\in U \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} u(x_0)=\max_{x\in\overline{U}}u(x) \end{eqnarray*}$

so folgt, daß u auf U konstant ist.

Beweis:

Gezeigt wird, daß die Menge

$\begin{eqnarray*} V:=\left\{x\in U : u(x)=M\right\} \end{eqnarray*}$

(bezüglich der Teilraumtopologie) in U sowohl offen als auch abgeschlossen ist.

Die Menge V ist sicher nicht leer, denn es gibt einen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0\in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u(x_0)=M:=\max_{x\in\overline{U}}u(x) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} 0<r<\operatorname{dist}(x_0,\partial U) \end{eqnarray*}$ gilt nach dem Mittelwertsatz für harmonische Funktionen

$\begin{eqnarray*} M=u(x_0)=\int_{B(x_0,r)}u \, dy\leq M \end{eqnarray*}$

[Das Integral soll in der Mitte so einen waagerechten kleinen Strich haben, ich wusste aber den Code für ein solches Integral nicht.]

Gleichheit gilt nur, falls $\begin{eqnarray*} u=M \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} B(x_0,r) \end{eqnarray*}$ gilt. Daraus folgt, daß V in U offen ist.

Da aber u eine stetige Funktion ist, ist die Menge auch abgeschlossen in U und daraus ergibt sich direkt die Gleichheit V=U. d.h., die Funktion u ist konstant auf U.

Meine Ideen:
Das Fettgedruckte, Unterstrichene ist das, was ich an dem Beweis nicht verstehe (also die Abgeschlossenheit der Menge V).

Könnte mir das bitte jemand erklären?

16.09.2011, 19:24

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das ist bei solchen Mengen immer der Fall wenn die stetig sind und man Folgenabgeschlossenheit verwenden kann.

Sei $\begin{eqnarray*} x_n \in V \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} x_n \to x \in \overline{U} \end{eqnarray*}$

Dann gilt $\begin{eqnarray*} u(x_n) = M \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} u(x) = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}u(x_n) = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}M = M \end{eqnarray*}$

und damit auch $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$

Aber ehrlich gesagt ist der Schritt

Zitat:

Gleichheit gilt nur, falls $\begin{eqnarray*} u=M \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} B(x_0,r) \end{eqnarray*}$ gilt.

weitaus weniger trivial. Zumindest hab ich heute den Beweis mir auch angesehen gehabt...

mfg

16.09.2011, 19:31

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sergej88
Hallo,

das ist bei solchen Mengen immer der Fall wenn die stetig sind und man Folgenabgeschlossenheit verwenden kann.

Sei $\begin{eqnarray*} x_n \in V \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} x_n \to x \in \overline{U} \end{eqnarray*}$

Dann gilt $\begin{eqnarray*} u(x_n) = M \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} u(x) = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}u(x_n) = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}M = M \end{eqnarray*}$

und damit auch $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$

Achso, Du hast einfach das Folgenkriterium für Stetigkeit angewandt und so gezeigt, daß der Grenzwert auch in V liegt (was ja gerade ein Kriterium für Abgeschlossenheit ist)?

Edit:

Achso, nochmal zu dem Schritt, zu dem Du meintest, dass er weit weniger trivial ist. Inwiefern? Wie beweist Du diesen Schritt denn?

17.09.2011, 10:41

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zu der ersten Frage: genau.
Zu der anderen Frage:
angenommen es dem ist nicht so,

dann gibt es einen Punkt $\begin{eqnarray*} x \in B_{r}(x_0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u(x) < M \end{eqnarray*}$ . Wegen der Stetigkeit gibt es auch ein $\begin{eqnarray*} r_0 > 0 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u(y) \leq M - \varepsilon, \ \ \forall y \in B_{r_0}(x) \end{eqnarray*}$ .

Dabei sind beide so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} B_{r_0}(x) \subset B_r(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt.

Entsprechend folgt
$\begin{eqnarray*} M = u(x_0) = \frac{1}{vol(B_r)}\int \limits_{B_{r}(x_0)}u(y)dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{vol(B_r)}\left ( \int \limits_{B_{r}(x_0) \backslash B_{r_0}(x)}u(y)dy + \int \limits_{B_{r_0}(x)}u(y)dy \right ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{vol(B_r)}\left(M\cdot vol(B_r)- M\cdot vol(B_{r_0}) + (M - \varepsilon)\cdot vol(B_{r_0}) \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = M - \varepsilon \frac{vol(B_{r_0})}{vol(B_r)} < M. \end{eqnarray*}$

Und dieses ist ein Wiederspruch. Das geht auch evtl. eleganter, aber ist das beste, was mir auf die schnelle eingefallen ist.

mfg

17.09.2011, 11:26

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Danke erstmal für deine Hilfe.

Vielleicht sehe ich die Problematik einfach nicht, aber ich hätte jetzt einfach nur gesagt:

$\begin{eqnarray*} M=u(x_0)=\int_{K_{\varepsilon}(x_0)}u(y) \, dy\leq\int_{K_{\varepsilon}(x_0)}M=M \end{eqnarray*}$ ,

also $\begin{eqnarray*} u=\operatorname{const}=M \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} K_{\varepsilon}(x_0) \end{eqnarray*}$ .

[Die Integrale sollen wieder einen kleinen waagerechten Strich haben und den Mittelwert bezeichnen.]

Wie gesagt: Ich sehe vermutlich die Problematik nicht.

17.09.2011, 11:39

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

meine Problematik ist es von dem Integralwert auf den Integranden zu schliessen. Das ist ja im allgmeinen nicht ok.

Aber hier evtl. eine neue Idee:
$\begin{eqnarray*} M = \frac{1}{vol(B_r)}\int \limits_{B_r(x_0)}M dy \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} M = u(x_0) = \frac{1}{vol(B_r)}\int \limits_{B_r(x_0)}u(y)dy \end{eqnarray*}$

Also folgt
$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{1}{vol(B_r)}\int \limits_{B_r(x_0)}u(y) - M dy \end{eqnarray*}$
Damit ist der Integrand fast überall Null und, da u stetig ist auch die Behauptung.

ICh hoffe ich übersehe jetzt nichts...

mfg

17.09.2011, 11:45

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das erinnert mich sehr an den Beweis, wie ich ihn bei Forster, "Analysis 3" gesehen habe.

(s. S. 192/ 193)

Neue Frage »

Antworten »

(starkes) Maximumprinzip

Verwandte Themen