Maximalen Flächeninhalt in einer Parabel berechnen

16.09.2011, 19:35

Siusiu

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Maximalen Flächeninhalt in einer Parabel berechnen

Meine Frage:
Ich habe 4 Punkte aus der Funktion f(x) = -x²+9 gegeben: (mehr oder weniger)
A(-u/0) B(u/0) C(-u/f(-u)) D(u/f(u))

Wenn man einen Wert für u einsetzt erhält man ein Rechteck. Definitionsbereich von u = 0-3

Dieses Rechteck ist innerhalb der Parabel..

Nun soll ich einen Wert für u herrausfinden, der den Maximalen Flächeninhalt bzw. Umfang hat.

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Lösungsansätze dafür.. weiß nur das
A = a*b

und

U= 2a +2b

miteinander zusammenhängen. und die funktionsgleichung mit eingebracht werden muss.. =(

16.09.2011, 19:40

tigerbine

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Zum Trost: Bei dem Problem bist du nicht alleine. Auch wenn es mir ein Rätsel ist, wo da das Problem ist.

Wir haben eine Funktion: -> malen!

Sei nun u=1- Dann zeichne nun bitte die Punkte ein.

A(-1|0) B(1|0) C(-1|f(-1)) D(1|f(1))

Wie berechnet man nun den Flächeninhalt des Rechtecks? Bitte mit f(1) usw. ausdrücken!

16.09.2011, 19:47

Siusiu

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A = f(1) * (2*1) ? also
A = 8 * (2*1)
A = 16

Aber wie komme ich damit an das Maximal mögliche?

Und danke schonmal für die Hilfe =)

16.09.2011, 19:50

Siusiu

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Bzw.

A = f(u) * 2u

?

16.09.2011, 19:57

tigerbine

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Zitat:

Original von Siusiu
Bzw.

A = f(u) * 2u

?

Erklär mal wie du darauf kommst. [Um sicher zu gehen, dass du es verstanden hast]

16.09.2011, 20:02

Siusiu

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berechtigte Zweifel Mr. Teacher =)

F(u) = Der Y Wert

u = Der halbe x Wert

Da A = y * x ist

Muss x *2 genommen werden weil x bzw u ja nur der halbe wert ist.

Also kommt man zum schluss auf A = f(u) * 2u

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16.09.2011, 20:03

tigerbine

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Wir hatten ja 4 Punkte.

A(-u|0) B(u|0) C(-u|f(-u)) D(u|f(u))

Vielleicht können wir es ja mit diesen begründen. Zunächst mal die Frage:

f(-u) und f(u). Haben die was gemeinsam? Wenn ja, warum?

16.09.2011, 20:06

Siusiu

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F(u) und F(-u) haben halt den gleichen Wert ? Bei u=1 z.B. 8?

Die sind ja (so zu sagen)der gleiche Punkt, nur gespiegelt auf der anderen Achse.

16.09.2011, 20:08

Siusiu

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Zudem sind beide Nullstellen..

16.09.2011, 20:09

tigerbine

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Das ist richtig. Aber es fehlt mir eine Begründung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Erklär es mal mit der Funktionsvorschrift f(x) = -x²+9, warum f(-u)=f(u) ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danach haben wir also die Punkte in der Form:

A(-u|0) B(u|0) C(-u|f(u)) D(u|f(u))

=> Die Rechtecksseite parallel zur y-Achse hat die Länge f(u)-0, da u aus [0,3] und somit f(u) größer gleich 0 ist.

=> Die Rechteckseite parallel zur x-Achse hat die Länge..... -> deine Aufgabe.

16.09.2011, 20:10

Siusiu

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Das mit den nullstellen nehme ich zurück Big Laugh

Big Laugh

16.09.2011, 20:13

Siusiu

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Zitat:

Original von tigerbine
Das ist richtig. Aber es fehlt mir eine Begründung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Erklär es mal mit der Funktionsvorschrift f(x) = -x²+9, warum f(-u)=f(u) ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Also F(x) = -x² +9

Egal ob man 3 als - oder als + in x einsetzt, wird der Wert immer Gleich.

Also: -3² und -(-3)² Werden beide zu -9

Denn ein Quadrat lässt werte immer positiv werden.. (mehr oder weniger)

16.09.2011, 20:16

Siusiu

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f(x) ist halt Achsensymmetrisch zur Y-Achse? =)

(Finde es gut, dass mir geholfen wird auf den Lösungsweg zu kommen, und nicht direkt fertige gleichungen hingebrettert bekomme) =)

16.09.2011, 20:22

tigerbine

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Warum so feige und konkrete Zahlen einsetzen, wenn man doch so clever ist, an die Klammern zu denken.

f(x) = -x²+9

f(-x) = -(-x)²+9 = -x²+9 = f(x)

=> Definition einer zur y-Achse symmetrischen Funktion. http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrie_%...Achsensymmetrie

Zitat:

=> Die Rechteckseite parallel zur x-Achse hat die Länge..... -> deine Aufgabe.

16.09.2011, 20:31

Siusiu

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Die Rechteckseite parallel zur X-Achse hat die Länge 2u

Aber warum kommt bei der länge der Rechteckseite parallel zur Y-Achse ein -0? Ist das nicht gleichgültig? ob -0 oder +0 ist doch unwichtig oder?

16.09.2011, 20:38

tigerbine

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Es ist nur gleichgültig, weil die Koordinate eben "0" ist. Aber sie könnte ja auch -1 sein, wenn man - unabhängig von dieser Aufgabe ein Rechteck mit den Koordianten (-1|-1) (1|-1) (1|1) (1,1) betrachten würde. Offensichtlich wäre das ein Quadrat mit der Seitenlänge 1-(-1)=2.

Back to topic:

Zitat:

Die Rechteckseite parallel zur X-Achse hat die Länge 2u

Das ist keine Begründung. Auch hier wieder wegen u größer gleich 0 eben u -(-u)=2u.

=> Du musst mehr erkennen, wenn du was nicht begründen kannst. Ist kein Beinbruch, aber so Lücken muss man gleich stopfen, sonst rächt sich das!

Zitat:

A = f(u) * 2u

Ist zwar richtig, aber vom Aufschrieb her schlecht. Man erkennt so gar nicht, dass die Fläche des Rechtecks A eben von u abhängt. Also schreiben wir das schön als Funktion in Abhängigkeit von u

$\begin{eqnarray*} A(u) = f(u) \cdot 2u = (-u^2+9)\cdot 2u = -2u^3+18u \end{eqnarray*}$

Wir sollten uns auch noch mal in Erinnerung rufen, dass wir u nicht beliebig wählen dürfen.

$\begin{eqnarray*} u \in [0,3] \end{eqnarray*}$

So, was wäre denn wenn wir u=0 oder u=3 wählen würden. Welche Werte für A(0) und A(3) erhalten wir dann?

16.09.2011, 20:49

Siusiu

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Sorry erst jetzt gemerkt, das es auf Seite 2 weiter geht Big Laugh

Big Laugh

PS: Ich habe auch schon davor -2u³+18u Raus bekommen *glücksgefühl* jedoch war ich mir nicht sicher, was ich damit anfangen sollte, Big Laugh

Big Laugh

Zurück zum thema: ^^

A(0) = 0

A(3) = 0

Also kommt dort udn dort ein Flächeninhalt von 0 raus.

Wie komme ich denn nun darauf, welcher wert der ideale Wert wäre? Vllt. die hälfte von 3? Also 1,5? (kenne keine Begründung, erscheint mir nru logisch =) )

16.09.2011, 20:51

tigerbine

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So, also die Randwerte haben wir schon einmal. Das ganze ist ja nun eine Oprimierungsaufgabe (max. Flächeninhalt])unter Nebenbedingungen (u aus [0,3]).

Nun gehen wir so vor, als hätten wir keine Nebenbedingungen. Wie bestimmt man denn lokale Extremwerte einer Funktion? Dabei stören wir uns nun auch nicht daran, dass die Variable nun u ist anstatt dem vertrauteren x.

16.09.2011, 20:55

Siusiu

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Mir fällt gerade auf, wenn ich die Ableitungsfunktion von A(u) nehme und von dieser die Nullstelle berechne, erhalte ich doch eine Extremstelle?

Also A`(u) = -6u² + 18
u = 1,73...

Richtig? Dann in die 2 Ableitung zum Prüfen und ich erhalte einen minuswert also Hp bla bla Big Laugh

Big Laugh

Also wäre u = 1,73 optimal?

16.09.2011, 21:00

tigerbine

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Zitat:

Original von Siusiu
Mir fällt gerade auf, wenn ich die Ableitungsfunktion von A(u) nehme und von dieser die Nullstelle berechne, erhalte ich doch eine Extremstelle?

Es wird wärmer. Jedoch erhält man so keine Extremstelle, sondern Kandidaten für Extremstellen. Und das prüfen mit der zweiten Ableitung ist sehr wichtig. [Wenn nicht klar, dann mal f(x)=x³ betrachten]. Wie ein Koch hier das Mise-en-place [wir haben da schon mal was vorbereitet]

$\begin{eqnarray*} A(u) = -2u^3+18u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(u) = -6u^2+18 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A''(u) = -12u \end{eqnarray*}$

So, nun zu deiner Idee mit dem Nullsetzen der ersten Ableitung.

$\begin{eqnarray*} 0= -6u^2+18 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^2= 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{1,2}= \pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

=> Runden tun nur die D....

=> Warum hab ich 2 Lösungen raus? Wie können wir eine davon aber ausschließen? Was hatten wir für Anforderungen an u (die man auch hier im Hinterkopf haben muss)?

16.09.2011, 21:06

Siusiu

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Will nicht Respektlos erscheinen.. ist aber A''(u) = -12u ?

Du hast 2 Lösungen raus, weil du auch - 1,73 raus hast? beim wurzel ziehen kommt immer ein positiv udn negativ wert raus. *forgot* Big Laugh

Big Laugh

Das wird ja dann in die 2 Ableitung eingesetzt und man Erhält für A''(u) = einen positiven Wert raus bedeutet Tp.

16.09.2011, 21:11

tigerbine

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Zitat:

Original von Siusiu
Will nicht Respektlos erscheinen.. ist aber A''(u) = -12u ?

So steht es doch auch da?

Zitat:

Du hast 2 Lösungen raus, weil du auch - 1,73 raus hast? beim wurzel ziehen kommt immer ein positiv udn negativ wert raus. *forgot* Big Laugh

Big Laugh

Schade, ich dachte du würdest sagen: Natürlich kommen i.A. 2 Lösungen raus. Aber denke doch dran, dass wir hier u aus [0,3] gefordert haben.

So, für $\begin{eqnarray*} u_1=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ erhalten wir $\begin{eqnarray*} A'(\sqrt{3})=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A''(\sqrt{3})<0 \end{eqnarray*}$ . Somit ein (lok.) Maximum.

Sind wir schon fertig? NEIN.

Denn wir müssen ja erst mal den zugehörigen Flächeninhalt bestimmen. Und optimal ist der nur, wenn er die Randwerte schlägt. Bei unserer Vorlage "Randwert A(0)=A(3)=0" stehen die Chancen gut, aber wie immer: Beweis gefordert!

=> dein Part.

16.09.2011, 21:23

Siusiu

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Lol, sry habe nur 12 gelesen..

joa, so hatte ich es auch im Kopf, aber ich dachte die Antwort wäre nicht deinen Erwartungen entsprechend unglücklich

unglücklich

Na jut.. Wie wir sind noch nicht fertig? Big Laugh

Big Laugh

spaß^^

Es ist schon bisl spät, und ich bin nen bisl überfordert...

Wenn ich Wurzel 3 [W3] in A(u) einsetze erhalte ich:

A(w3) = 20,78460969

Was soll ich denn da noch beweisen? Und Wie?

16.09.2011, 21:29

tigerbine

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Doch wir sind nun fertig. Schauen wir uns ein Bild dazu an. Die Funktion sieht so aus $\begin{eqnarray*} A(u) = -2u^3+18u \end{eqnarray*}$

=> Normale Kurvendiskussion führt auf die von uns angesprochenen lok. Extremwerte bei +/- W(3).

=> Der größte Funktionswert im Bild [Da Beschränken wir uns ja auf das Intervall [-4,4] wird aber bei u=-4 angenommen.

=> Merke: Man muss die Randwerte immer prüfen, ob da größere Werte als im lokalen Max angenommen werden.

Wie sieht das bei unserem Intervall aus?

=> Alles in Butter! Lokales Max ist hier auch die Lösung.

==> FERTIG!

16.09.2011, 21:29

Siusiu

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Soll ich etwa scheiben, dass da die Randwerte A(0) und A(3) < A(w3) sind
und w3 die maxima in zwischen diesen Randwerten bzw. Differenzbereich ist, 20... der Optimalwert ist?

Verwirrt.

16.09.2011, 21:32

Siusiu

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Also war ich richtig in der Annahme Big Laugh

Big Laugh

Nur halt nicht so klar formuliert.

Ich Bedanke mich vielmals für diese hervorragende und Zeitaufopfernde Hilfe =)

Einen solchen Lk lehrer würde ich mir wünschen.. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich wünsche noch einen Schönen Abend, =)

16.09.2011, 21:37

tigerbine

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Danke fürs Gespräch und viel Erfolg im LK. Wink

Wink

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