Exkurs: Schwierige Grenzwerte

16.09.2011, 22:23	lalalalalalalalalala	Auf diesen Beitrag antworten »
Exkurs: Schwierige Grenzwerte Ich habe mich im Lehrbuch mit einigen Übungsaufgaben beschäftigt, um mich auf eine Klausur am Dienstag vorzubereiten. Dabei ist auch eine Doppelseite zum Thema: „Schwierige Grenzwerte“. Hierfür wurde eine Beispielaufgabe vorgerechnet und kommentiert, was bei den Schritten getan wurde. Dabei ist mir die Erklärung im Buch zu einer dieser Aufgaben jedoch unklar. Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to oo} \sqrt{x^2+x}-x \end{eqnarray}$ Dieser Term wurde, um eine Berechnung möglich zu machen, erweitert um die 3. binomische Formel anzuwenden, sodass die Wurzelterme wegfallen. Der entstandene Term sieht dann folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to oo} \begin{pmatrix} x \\ \sqrt{x^2+x}+x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Als letzte Umformung schlägt das Buch ein Erweitern mit 1/x vor. Dabei sieht der im Buch erweiterte Term so aus: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to oo} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{1+\frac{1}{x} }+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . An dieser Stelle ist mir nur unklar, wie man beim Nenner unter der Wurzel durch das multiplizieren von x und 1/x auf 1/x kommt und im Zähler auf x und auch nach der Wurzel..... ??? Das Ergebnis ist dann 0.5 ... was natürlich mit der gemachten Umformung raus kommt ... aber ich stehe irgendwie auf dem Schlauch, warum aus dem einen x eine 1 wird, wenn man es mit 1/x multipliziert und aus dem anderen x ein 1/x
16.09.2011, 22:32	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Man möchte im Zähler und Nenner x ausklammern. Oben geht das sofort. Unten nicht. Der letzte Term ist x, wenn wir hier x ausklammern, bleibt die 1 stehen. Beim Wurzelausdruck klammert man zunächst unter der Wurzel x² aus, und dann ziehen wir die Wurzel. Und haben dann vor dem neuen Wurzelausdruck ein x stehen. (Zumindest, wenn x > 0 ist)
16.09.2011, 23:04	lalalalalalalalalala	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ... warum sagen die im Buch das nicht gleich so ... $\begin{eqnarray} \lim_{x \to oo} \frac{x(1)}{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x} )}x(1) } \end{eqnarray}$ also das ist der Schritt, wo im Zähler x ausgeklammert wird und dann im Nenner einmal x hinter der Wurzel und x^2 unter der Wurzel ... und danach sieht man die Wurzel von dem ausgeklammerten x^2 und dann lässt sich x kürzen und man hat den im buch genannten ausdurck ... alles klar DANKE ! =)
17.09.2011, 12:00	lalalalalalalalalala	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey ich habe jetzt einige Aufgaben aus dem Bereich "Schwierige Grenzwerte" gut lösen können ... doch nun bin ich wieder auf eine Aufgabe gestoßen, deren Lösung mir Probleme bereitet Die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to oo} \left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n} \right) \end{eqnarray}$ Um den Grenzwert zu berechnen habe ich zuerst mit $\begin{eqnarray} \sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n} \end{eqnarray}$ erweitert ... Anschließend konnte ich durch die 3. Binomische Formel die Klammern und die Wurzel im Zähler auflösen ... Ich habe daraufhin im Zähler n ausgeklammert und im Nenner in den Wurzeln n^2 ausgeklammert und dann durch das wurzel ziehen dieses n aus der wurzel gezogen und auch im unteren Term n ausgeklammert und anschließend n im Zähler und Nenner gekürzt Ergebnis bis dahin: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to oo} \frac{n(n+1+\frac{1}{n} -n-\frac{1}{n} )}{n(\sqrt{1+\frac{1}{n} + \frac{1}{n} }+\sqrt{1-\frac{1}{n} } )} \end{eqnarray}$ dann habe ich im Zähler nach dem kürzen und addieren etc. nur noch 1 stehen um im Nenner die Wurzel aus 1 plus die Wurzel aus 1 ... also 2 ? da ja n gegen unendlich strebt und damit 1/n gegen null strebt .. ? mein Ergebnis lautet daraufhin 1/(1+1) .. also 1/2 .. doch das ergebnis muss laut berechnung mit einem Computer Programm 1 sein ... wo habe ich einen fehler gemacht ?
17.09.2011, 12:17	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist richtig, die Umsetzung fehlerhaft - zumindest im Zähler: Es ist NICHT $\begin{eqnarray} n^2-n = n\left( n - \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} n^2-n = n(n-1) \end{eqnarray}$ .
17.09.2011, 12:24	lalalalalalalalalala	Auf diesen Beitrag antworten »
an welcher Stelle genau ist dieser fehler ? an der Stelle, wo ich im Nenner ausklammer ? ... aber ich muss doch solange es unter der wurzel ist n^2 ausklammern .. also n^2(1-1/n) .. ? damit ich danach n ganz ausklammern kann, da doch aus dem n^2 durch wurzel ziehen n wird ... ?
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17.09.2011, 12:34	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe DEUTLICH geschrieben: Im ZÄHLER, und da ganz hinten.
17.09.2011, 12:45	lalalalalalalalalala	Auf diesen Beitrag antworten »
ah okay ... dabei kommt dann also im Zähler nicht 1 sondern 1+1 also 2 raus und im Nenner ebenfalls ... sprich das Ergebnis ist 1... danke =)

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