Basisaufgabe [war: Meier]

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Meier Auf diesen Beitrag antworten »
Basisaufgabe [war: Meier]
Meine Frage:
Meine Aufgabe lautet

Für jeden Vektorraum V und lineare Abbildung g: V ->V gilt: Ist {v1,v2,v3,v4} eine Basis von V so ist auch {f(v1),f(v2),f(v3),f(v4)} eine Basis von V.

Meine Ideen:
Also ich habe mir eine Element k aus K genommen und mit der Basis als Linearkombination darstelllen
f(x)= a1*v1+a2*v2+a3*v3+a4*v4 für a1,a2,a3,a4 aus K
Nun habe ich das abgebildet:
f(a1*v1+a2*v2+a3*v3+a4*v4) = a1*f(v1)+a2*f(v2)+a3*f(v3)+a4*f(v4)
Also kann ich es als Linearkombination schreiben (somit ein Erzeugersystem) und wenn a1=a2=a3=a4= 0. So sind sie linear unabhängig und bilden eine Basis.

Ist diese Schlussforderung so richtig ??

mfg
PS: Iic habe absichtlich eine neuen thread aufgemacht da klarsoweit schon etliche zeit für mich investiert hat und ich ihm nicht unnötig auf den Geist gehen wollte.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Meier
Zitat:
Original von Meier
Für jeden Vektorraum V und lineare Abbildung g: V ->V gilt: Ist {v1,v2,v3,v4} eine Basis von V so ist auch {f(v1),f(v2),f(v3),f(v4)} eine Basis von V.


Das kann ja gar nicht sein. Da muß eine entscheidende Bedingung fehlen. Bitte den Aufgabentext korrigieren.
 
 
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Meier
Zitat:
Original von Meier
Meine Frage:
Meine Aufgabe lautet

Für jeden Vektorraum V und lineare Abbildung g: V ->V gilt: Ist {v1,v2,v3,v4} eine Basis von V so ist auch {f(v1),f(v2),f(v3),f(v4)} eine Basis von V.
Diese Aussage ist falsch.
Man wähle als Gegenbeispiel f(v)=0

PS: Achte etwas darauf, dass du bei deiner Notation konsistent bleibst:
Zuerst nennst du die Abbildung g, dann heisst sie f.
In deinem Beweis (der falsch ist, da auch die Aussage falsch ist) beginnst du auf einmal mit einem "k aus K"
Meier Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Meier
Ach ich hab vergesen zu schreiben, dass ich diese Aussage entweder beweißen oder widerlegen soll smile

hmm wieso kann das nicht sein....weil sich die Abbildung auf sich selbst abbildet, also Defintionsbereich = Wertebereich?

mfg
Meier Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Meier
@math1986

Nun gut dann brauch ich ein Gegenbeispiel um es zu widerlegen aber wie setze ich dieses f(v)=0 ein.

Meinen Sie f(vi)=0 für i element aus {1,2,3,4}? verwirrt
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Meier
Zitat:
Original von Meier
@math1986

Nun gut dann brauch ich ein Gegenbeispiel um es zu widerlegen aber wie setze ich dieses f(v)=0 ein.

Meinen Sie f(vi)=0 für i element aus {1,2,3,4}? verwirrt
Ich meine die Nullabbildung, die alle Vektoren auf den Nullvektor abbildet, darum f(v)=0 für alle v aus V.
Meier Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Meier
ok

aber wie kann ich dies nun einsetzen um meine Aussage zu widerlegen.

wenn ich f(v)=0 durch meine Basis darstelle dann f(v) = a1*v1+a2*v2+a3*v3+a4*v4= 0

ist das so richtig oder bin ich wieder am Holzweg?

Zweitens:
Wie haben Sie am ersten BLick gesehen, dass die Aussage falsch ist verwirrt

mfg
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Meier
Naja,
gesehen, dass diese Aussage falsch ist, habe ich durch eben dieses Gegenbeispiel:

Es sei nun eine Basis von V und die Nullabbildung, wie in meinem vorherigen Beitrag.
Wie sieht nun aus?
Meier Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Meier
hmm man darf also um ein Gegenbeispeil zu finden sich selbst einen Abbildungsvorschrift "aussuchen"?

also wenn die Nullabbildung ist, dann müssten ja die einzelnen Vektoren alle 0 sein also

müsste dann ja {0,0,0,0} sein.

oder?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Meier
Zitat:
Original von Meier
hmm man darf also um ein Gegenbeispeil zu finden sich selbst einen Abbildungsvorschrift "aussuchen"?
Man nimmt sich als Gegenbeispiel irgendeine beliebige Funktion die diese Aussage nicht erfüllt, die Nullabbildung ist hier die einfachste, aber es gäbe auch andere Gegenbeispiele.
Zitat:
Original von Meier
also wenn die Nullabbildung ist, dann müssten ja die einzelnen Vektoren alle 0 sein also

müsste dann ja {0,0,0,0} sein.

oder?
Ja, richtig, und {0,0,0,0}={0} ist keine Basis, damit wäre die Aussage widerlegt.
Meier Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Meier
aha

also zusammengefasst, um eine Gegenbeispiel zu finden, egal bei welcher Angabe, darf ich mir eine willkürliche Abbildungsvorschrift hernehmen?

smile
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Meier
Zitat:
Original von Meier
also zusammengefasst, um eine Gegenbeispiel zu finden, egal bei welcher Angabe, darf ich mir eine willkürliche Abbildungsvorschrift hernehmen?
Ja, aber natürlich nur solche, für die die Ausaage nicht gilt.
Meier Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Meier
Ja na klar sonst wäre es ja sinnlos smile

mfg und danke dir vielmals
Meier Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Meier
@ Iorek
Ich dachte mir neues Beispiel = neuer Thread, deshalb habe ich einen neuen aufgemacht smile

Also ich habe eine weitere Frage und zwar:
Meine Frage:
Ich soll folgende Aussage Beweißen bzw widerlegen:

Für jeden Vektorraum V und lineare Abbildung g: V ->V gilt: Ist {v1,v2,v3,v4} eine Basis von V so ist {f(v1),f(v2),f(v3),f(v4)} eine Basis im Bild von g.

Meine Ideen:
Also meiner Meinung nach ist diese Aussage falsch, da ich ein Gegenbeispiel finden kann. Z.B die Nullabbildung f(v)= 0 für alle v aus V.

Somit würde aus {f(v1),f(v2),f(v3),f(v4)} = {0,0,0,0} werden und dies ist laut Definition keine Basis.

Ist das so Richtig?

mfg
Meier
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Forum Kloppe

Ich entschuldige mich, da gibt es 5 kleine Wörte die sich in der Tat unterscheiden und somit eine ganz neue Aufgabe kreieren. Neue Aufgabe -> Neuer Thread ist sogar eigentlich wünschenswert. Ich werde meinen Kommentar entsprechend ändern und dann geht es doch in deinem neuen Thread weiter.
Meier Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke dir smile

mfg
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